立命館大学 全学方式理系 (2/2) l講評| 2022年大学入試数学

      2022/05/29

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は立命館大学(全学方式理系:2/2)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2022年 大学入試数学の評価を書いていきます。

※コロナ禍ということもあり、健康・体調の維持を最優先しておりますので、更新がゆっくりめになると思います。


2022年大学入試(私大)シリーズ。

立命館大学(全学方式理系:2/2)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





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YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

 

立命館大学(全学方式理系:2/2)
(試験時間100分、4問、穴埋め型)

1.全体総評~例年並みに戻る~

昨年がかなり易化でしたが、今年は例年並みに戻りました。多くの問題で数IIIは絡んでいますが、微積のがっつり計算は今年も影を潜めています。ど第2問、第3問などは比較的計算量が多いので、ここで時間を取られると時間内に終わらないかもしれません。

出題範囲に三角関数系統が多い印象があります。2年連続です。

試験時間100分に対し、
標準回答時間は115分【78分】(←穴埋め考慮)

2021年は75分【51分】(←穴埋め考慮)

2020年は105分【72分】(←穴埋め考慮)

2019年は125分【81分】(←穴埋め考慮)

2018年は125分【84分】(←穴埋め考慮)

2017年は115分【79分】(←穴埋め考慮)

2016年は107分【70分】(←穴埋め考慮)

2015年は125分【81分】(←穴埋め考慮)

2.合格ライン~うまく捨てて7割を~

第1問は細々しているが誘導が丁寧で、最後まで出来れば取りたい。

第2問は本セット最難問か。計算量が多めなのと、最後は誘導が少しわかりにくいので、厳しい。「ク」まで出来ればとりあえずOK。

第3問はキー問題。前半の対称移動も演習量で差が出る。後半も図形のイメージがすっとわけば完答できる。

第4問もキー問題。場合の数や確率は基本的に差がつきます。極限の部分は確率が出せれば取りたいところ。


単純な正答数なら7割がラインでしょうか。

3.各問の難易度

第1問・・・【微積+方程式+極限】2次方程式の解、定積分、極限(B、20分【13分】、Lv.2)

数IIIの微積やら解と係数の関係やら極限やら、いろいろ融合していますが、1つ1つは大したことありません。

最初は微分して整理するだけ。k→wに書き換えるのを忘れず。次は重解条件を式にするだけです。

[1]の最初も、解と係数の関係が見えますので、和や積を用意しておきましょう。2次の係数が1なら、解の差αーβ=√Dを覚えていると「オ」も速いです。異符号になる条件も、積<0で楽勝ですね。(両方が正、両方が負になる条件等も確認しておきましょう)

[2]は積分計算ですが、単項式の積分なので大したことはありません。極限も、式変形もほとんどなく求められます。最後も、解と係数の関係などから出せます。

 

※KATSUYAの解答時間は8:34です。

 

☆第2問・・・【図形と式+三角関数】放物線と円の共有点(BC、40分【27分】、Lv.2)

放物線と円の共有点に関する問題で、共有点に三角関数が含まれています。第1問に比べるとうまく融合されており、結果としてはきれいですが、計算はかなりキツイです。

本サイトの「入試標準演習」タイプにならそのまま載ってそうな題材です。

[1]はよくあるタイプ。放物線と円の連立では、x^2=・・・にして円の式に代入すると次数が上がらないで済みます。図を書いて視覚化することも忘れずに。ポイントになるのは、下の方で2点で接するときです。yについての2次方程式が重解を持つ条件になります。(yの解は1つですが、交点としてはこれで2つあります)

[2]はyについて解がMAX2個、それに対応するxがMAX2個あることからMAXで4個わかります。あとは実際に4個である例が1つでも見つかればOK。これも、視覚化していれば分かりますね。

[3]から、三角関数も絡んできます。ここからが本番。誘導も第1問に比べると少し飛んでおり、計算量も多めでギブした人も出るでしょう。

条件よりというのは、f(cosθ)=sinθ、f(cos2θ)=sin2θということです。左辺をg(x)を使って書き替えて、g(cosθ)、g(cos2θ)について解きます。なかなか合わなさそうですが、分母の形に合うまで式変形します。理系なら、分母に1-cosθを見たら1+cosθを掛ける式変形は、三角関数の極限でも出てきますね。

「ク」はただの計算ですので、よくわからなかったらここだけでも計算するのが良かったですね。3倍角は数学を入試に使うなら覚えておきましょう。

問題は「ケ」です。まず、aというのは不明だから置いてあるわけではありません。ただの傾きですので、g(cos2θ)-g(cosθ)/cos2θ-cosθとなります。長いから置き換えただけで、計算するときは必要です。

aにこの長い式を代入しつつ、さらにx=cos3θを入れてg(cos3θ)を計算します。途中で「ク」の結果が使えます。さらにcos3θ-1をかけてf(cos3θ)を計算します。cos3θ-1=4c^3-3c-1の因数分解も必要で、ここの計算はかなり長いです。

結果は非常にきれいで、sinθの3倍角の符号替えとなりますので、4点目として(cos3θ,-sin3θ)を通ることになります。これを利用して最後のグラフをかけということですね。

 

※KATSUYAの解答時間24:00。「ケ」の計算で最後に約分ミスって、「コ」の意図がつかめず。こんなに丁寧に図が書いてあるのに、4点目の目印になるような式になってない。もういちど「ケ」をゆっくり見直し、3倍角が出てくることを確認して確信に変わった。

 

☆第3問・・・【複素数平面+図形と式】対称移動した点、円、共有点条件、面積(B、30分【20分】、Lv.2)

2年連続で、第3問は複素数平面です。昨年に比べると計算自体はマシですが、図形がスムーズにイメージできないと後半はつらいかも。差が出るタイプです。

[1]は対称移動点を聞いています。アイウはさすがに簡単すぎでは^^; 教科書にそのまま載ってるので、落とせませんね。「エ」も典型パターンで、誘導もあるので正解できるでしょう。軸以外の対称移動は、回転→対称→また回転と覚えておきましょう。

[2]は円を対称移動させます。先ほどのエの結果を使ってほしいのか分かりませんが、そんなものを使わなくても、135°(45°系)の直線であれば、対象移動すればx座標とy座標が入れ替わる感じになるだけです。2円が共有点を持つ条件については、中心間の距離と半径の和、差の大小で決まります。また、PQの長さはPやQの座標を求めるのではなく、弦の長さですから、dとrと3平方で出せます。(d:中心と直線の距離)

後半も縦線に対称な移動なので、中心も簡単に出せますし、共有点条件はもっと簡単に出せます。「コサ」については、まずPMQは余弦定理を使って出します。MP=MQ=半径、PQは出してますので、すべてrで表せます。3辺が分かっていれば、変形余弦定理ですね。(rも約分できますので、不要です) 30°と分かりますので、共通部分も出せます。

最後は円がめっちゃ増えていきますが、比の値や、共有点の条件から横の円は交わらないこと、斜めの円は交わることを確認しましょう。明らかに五輪を意識したマークですね。(ということは2020年に作った?)  面積は5つの円から、共通部分を4つ引けばOK。

※KATSUYAの解答時間8:30。図形のイメージが湧くかどうかでもっとかかると思われます。

 

☆第4問・・・【確率+極限】順列、最大値、eの定義利用(B、25分【18分】、Lv.2)

最後は確率です。前半に場合の数、後半に極限も入っています。

[1]は場合の数です。最初の2つはさすがにいいでしょう。6P3か6C3かの違いです。後半は意外と差がつくか。ウは6×6×偶数3通りで=108通りと出ます。

「エ」は正答率が低いと思われます。足して3の倍数になるものを探せばOKですが、重複OKなので、かなり見落としが発生するでしょう。とにかく辞書式で慎重に書き上げましょう。111、114、123・・・など。答えは72個ですが、全事象の数が216なので、妥当と言えます。これで54個(1/4)とか出たときに、ちょっと怪しいかな?と思える感覚を身につけましょう。

[2]は最大値の話であることに気づきたい。最大値n以下=全部n以下と読み替えましょう。キの極限では、問題文にあるようにeの定義に従います。書いてあるのは丁寧ですね。eの定義式を利用した極限では、問題文でいう「m」の部分を必ず一致させます。

もしあってなければ、ムリヤリ合わせるわけです。分母が2nなのに指数がnなら、指数を2n×1/2とムリヤリ2nを作り出すことになります。基本は、指数をいじりましょう。

 

最後は、全部2n-1以下の場合と、Yn=2nになる場合を分けて足すだけです。極限も同様に計算します。極限において端数はゴミという発想をうまく使えば、穴埋めならすぐに出せます。記述だと式変形メンドウですけど^^;

 

※KATSUYAの解答時間は7:02です。

 

4.対策~数学IIIと数学Aを中心に~

今年も微積がかなり穏やかですが、例年はメンドウなものが出ますので、油断は禁物。また、「数IIIと数A」という傾向は継続すると思われます。数Aは確率、整数両方マークしておくべきでしょう。

ただし数学IIIの問題では、数列や三角関数(←今年は特に)などと融合されることも多いです。(今年も例にもれず)「IIIに取り組みつつ、IIBの公式などで不安が見つかったら、その時点でIIBの学習もやっておく」というスタイルがよさそうです。チャート(青色がいいでしょう)と、同レベルの入試問題集(本サイトでいうと入試標準レベルになります)をたくさん練習しましょう。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでよさそうです。

以上です^^

 

 

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