一橋大学 | 2020年大学入試数学

2020/03/10

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は一橋大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２０年大学入試（国公立）シリーズ。
一橋大学です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

一橋大学
（試験時間120分、５問、記述式）

１．全体総評～一橋らしさも、取りやすい問題もある～

今年は難易が分かれているセットで、総合的には、穏やかになった昨年と同じくらいです。

前半の３つは難易度が高めで、設定がシンプルな分難易度が高い問題。理系でも遜色ない一橋の数学らしさが現われています。一方、後半の２問はパターン問題に近く、方針がかなりたちやすいので点数に結びつきやすいと思います。

試験時間120分に対し、
標準回答時間は115分。例年より穏やかです。

2019年：120分。

2018年：138分

2017年：135分

2016年：130分

2015年：150分

2014年：145分

2013年：125分

2012年：135分

2010年：125分

２．合格ライン

前半の第１問~第３問が比較的難しいが、全滅はなんとか避けたい。

後半の第４問、第５問は一橋受験者なら取らないとマズイ。

前半３問でつまみぐいして、なんとか１完分取りたい。第２問は多少は答案が書けるはず。６０~６５％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問　【整数】2020で割った余り（BC,20分、Lv.2）

2020で割った余りに関する問題です。割る数字が大きいですが、原則に忠実に従えるかを見る上で、難易度的にも一橋らしさのある問題です。

ｎ乗のあまりについては、合同式で求めていくか、循環を信じて探すか、これが原則中の原則です。

前者の場合は、2乗、3乗・・・とやって、余りが1になるまで探しますが、これも結局は循環を見つけるためのものです。従って、「循環」がこのタイプ全てに共通する本質になります。

今回は、何乗しても余りが１になることはありませんが、合同式を利用して循環するまで探していくことを思いつけば、以下のようにすぐに循環することが見えます。

１０≡１０、１００≡１００、１０００≡１０００、

次の１００００≡１９２０ですが、１９２０≡ー１００とすると規則がつかめます。

１０００００≡ー１０００、　１００００００≡－１００００≡１００です。

最初の１０だけ例外で、あとは１００，１０００、－１００、－１０００の繰り返しになることが分かります。なお、循環については、（経験上の最長ですが）２０個ぐらいまでは書き出すつもりでいた方がいいと思います。

これで（１）も（２）もほぼ同時に出来ます。

（１）はいいでしょう。（２）は、２００・・・０００か１００・・０１０・・・００のどちらかです。前者は２０２０で割れないので(101の倍数にならない)、後者のみです。10^99+10^kの形になります。

10^99は先ほどの規則から10^3=1000と合同です。　ということは、「≡ー１０００」になるものを選べばOK。最初の10^1だけは例外であることに注意して、ｋ＝５，９，１１、、、、４ｋ＋１、、、９７ですね＾＾

KATSUYAの解答時間１７分。合同式でいくか？いや、１になることはなさそう？でも循環するはず。数字が大きくなりそうなことを覚悟でやってみると、意外とすぐに循環した。一橋らしい。

☆第２問　【三角関数】三角方程式（B、20分、Lv.２）

三角方程式の解の個数を調べる問題。設定は単純、解き方も比較的単純です。

tanθ＝ｔ　とおくと、与えられたθの範囲ではｔとθは１対１に対応しますので、ｔの解の個数を調べます。定数分離でも出来ますが、ｔについて比較的簡単に解けますので、解いてしまった方がはやいです。

a=0のときはとっとと調べておきましょう。

a≠０のとき、t=０、またはt^2＝ａ＋２／ａと出るはずです。後者が問題。負だと解はなく、０だと１個、正だと２個あります。

分数式ａ＋２／ａ＜０　を解く場合は、両辺にa^2をかければ、不等号の向きで場合分けする必要はありません。

※「ａ＋２とａの符号を調べればすぐ分かる話で、2乗を掛けること自体が邪道だ」という人もいるようですが、合っている方法にケチを付ける方が邪道です(笑)

なお、０のときはｔ＝０と被るので、結局１個です。なので、１個か３個が答えになります。

KATSUYAの解答時間１２分。定数分離？ａ＝・・・に直してみる。いや、ｔａｎθ＝ｔとおけば解もそんなに汚くないかな。途中で気づき、やり直しで上記の方法に変える。こっちの方が答案書きやすいわ。やり直してよかった＾＾

☆第３問　【ベクトル】単位円上の３点と内積の最大値・最小値（Ｃ、30分、Lv.３）

単位円周上にある３点Ａ，Ｂ，Ｃについて、ＡＢベクトルとＡＣベクトルの内積の最大値・最小値を求める問題。大昔に何かの本で見たような気がします。こちらも設定は非常に単純ですが、想像通り（？）単純な分、難しいです。本セット最難問だと思います。

対称性などを利用し、一般性を失わないように置くことが大事。Ａ（１，０）としてもＯＫです。他もＢ（cosB、sinB），Ｃ(cosC,sinC)などとおいておきます。

内積の式は、三角関数B,Cの式でおけます。ここで、2文字が動くときは1文字固定の原則を用います。漠然としていますが、2変数のときには必ず頭に浮かべておきたい手法。

角度B,Cは基本的には独立で動けますので、片方固定した上で最大値、最小値をまず出します。最大値が出たら、その最大値に対して、もう片方の変数を動かし、それがさらにいつ最大になるかを求めます。最小値も同様。大学への数学だと、「予選決勝法」などと呼ばれる手法です。予選（1文字固定）で最大値を決め、決勝(もう1文字動かす)で最大値の優勝を決めるということでしょう。

また、内積の図形的性質を用いる方法もあります。こちらも、実質1文字固定を使っています。初見で思いつくのは厳しいでしょうが、ベクトルの実力UPに役立つ考え方なので、本エントリーを見た人は、必ず確認しておきましょう。（Yさん、Kさんで掲載を確認済み。Kさんは三角関数の方法もありました）

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間20分。なーんかどっかで見たことあるような。昔の学コン（大学への数学の月刊誌にあるコーナー）かなぁ。だとしたらまあまあな難易度やけど。たしか1文字固定でやるはず。と考え、上記の三角関数で2変数とし、1文字固定でやりました。（ほぼKさんの解答まんまです）これは難しいかな。