早稲田大学 教育学部 数学 講評| 2023年大学入試数学
2024/01/05
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●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回早稲田大学(教育学部)です。
２０２３年大学入試（私大）シリーズ。
早稲田大学(教育学部：理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
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YouTubeチャンネルです 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。
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早稲田大学（教育学部：理系）
（試験時間120分、4問、記述式、一部答えのみ）
１．全体総評～昨年と同じか、わずかに易化～
２番以降の記述問題はそこまで方針に詰まることがないため、手が止まることはないかと思います。その意味で易化ですが、計算量はどの問題も多めなので、時間的にはかなり厳しいと思います。
また、第１問の小問の中に真面目にやると相当時間のかかるものが入っていました。早稲田教育あるあるですので、ここをうまく飛ばして他にあたれば、時間的にも例年通りだと思います。
試験時間120分に対し、
標準回答時間は182分【153分】（←答えのみを考慮）
2022年：164分【144分】
2021年：137分【124分】
2020年：152分【128分】
2019年：148分【134分】
2018年：174分【142分】
2017年：152分【131分】
2016年：128分【117分】
2015年：127分【107分】（答えのみを考慮）
2014年：165分
２．合格ライン
第１問は(３)がキー問題か。(４)は勘(ある程度は推測)で書いて通過するのが正解。まともにやるとここで終わる。
第２問は誘導に従って解いていけば、何をすればよいか見えやすいので出来れば最後までいきたい。(３)はキー問題。
第３問はキー問題。(１)(２)(３)独立している。(１)が意外と一番メンドウかと。見た目より簡単な(２)(３)は取りたい。
第４問は時間との勝負か。(３)方針次第ではやることが多くキツイかも。(２)までは欲しい。
第２問、第３問、第４問で最後以外を答え、第１問(１)~(３)を正解できれば合格ラインには乗るかと。
３．各問の難易度
☆第１問(1) 【微積分(数II)】放物線に引いた接線、面積の最大値（B,18分【12分】、Lv.2）
放物線外から２接線を引き、２接点と原点で作られる三角形の面積の最大値を求めます。他の大学であれば大問になるような問題を小問集合に平気で押し込んでくるのが早稲田教育の数学です。
曲線外の点から接線を引くときは、接点を主役にします。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 図形と方程式 p.38 参照）
変数はｂですが、結局２接点がどう動くかが分かればいいわけですので、接点のｘ座標に関する関数に出来たかどうか。
接線が(10,b)を通るとして式を作り、その方程式の解がα、β(２接点のｘ座標)とすれば、α＋β=20とわかります。
あとは図形的に見れば、0<b<100のときに接点の左側はｘ＝０~１０で動くことは明らかでしょう。これで簡単に三角形の面積は表せます。3次関数になるので、微分して出しましょう。極値を取るｘの値はキタナイですが、因数分解された形に入れるとキレイに計算できます。
なお、穴埋めなので、接点の中点のｘ座標がｘ＝１０であることを使えば、α＋β=20は一瞬で出せます。
やはり放物線と2接線の特徴は覚えておいて損はないですね。（詳細は拙著シリーズ 数学II 積分法 p.34の図 参照）
第１問(2) 【確率】赤玉を取り出す確率（AB,9分【6分】、Lv.2）
特定のルールで玉を取り、赤玉を合計３個取る確率です。ルールさえわかれば単純な問題です。
「赤3個→白３個取る場合」か、「赤2個白1個→赤1個白1個取る場合」を計算するだけです。玉は元に戻さないことと、前者と後者で分母が変わるのことに注意です。
これは落とせないですね。
☆第１問(3) 【数列＋複素数平面】連立漸化式、ｎ乗計算（B,15分【10分】、Lv.2）
連立漸化式の一般項が最小値をとるような最初の項を求める問題。係数が三角関数で値も分からないので、面食らったかもしれません。とあることに気づけば簡単に一般項は出せますが、別に気づかなくても出せます。
連立漸化式は、a(n+1)+ｋb(n+1)が等比数列になるようなｋを探すことが原則です。係数がうざく見えますが、計算すればｋ＝±ｉ(虚数)と分かります。それで実際に計算すると、公比がキレイに極形式の形になります。
見た瞬間にx＋yiを持ち出せばいいのでは？と思いついた人はこの過程が飛ばせるだけです。気づかなくて出せなかったのなら、復習すべきは複素数平面ではなく連立漸化式の方です。
ド・モアブルによりxnはcosで偏角が変わっていくだけなので、180°の点に一番近くなるときがいつかを求めればOK。あとは簡単な整数問題ですが、180°×奇数倍のときでないとダメですので、注意。
また、私のように大学を出終えている人が解くと、行列(線形代数)も勉強しているので、明らかに回転行列をかけているなと気づきやすいです。
第１問(4) 【2次関数】三角形の面積の最大値（BC,40分【25分】、Lv.1）
直角三角形上を3点が動くときの、ABCの面積の最大を求める問題で、まともにやると場合分けが相当多く、計算もメンドウなので見当をつけて通過するのが正解。小問に最難問(時間がめっちゃかかるもの)を持ってくるのも、早稲田教育の特徴。(これホントやめてほしい＾＾；)
真面目にやるなら、どれかの頂点が辺を移る度に場合分けが必要です。ある程度は単調性などでサボれると思いますが、それでもかなりの答案量になり、制限時間と量を考えると現実的ではありません。
推測の域を出ていませんが、0.8倍になることが最大かな、って感じです。予備校の解答なども拝見ましたが、答えだけのものが多いので、現在(23年2月21日現在)私は確信を持っていません。
場合分けにより、0.8倍が最大になることが確かめられました。すべてが異なる辺にあるときは最大値が存在しないことも利用すると、ある程度は計算をさぼれますが、それでも場合分けはかなり多くて大変です。
※KATSUYAの解答時間は計13:20です。(1)は中点技を利用。(4)は予想だけして通過。
第２問・・・【微分法など】図形上の長さの比の最小値（B、30分、Lv.2）
三角形の内部にPを取り、各辺に下した垂線の長さと各頂点への距離について考える問題です。題材的には大物ですが、(1)の誘導や、必要な不等式(これが最もムズイ)を用いてよいと書かれているので、難易度は大きく下がっています。
(1)ですが、長さの比が問題ですから、正三角形の1辺を適当において一般性を失いません。怖い場合は、Ｌとでも置きましょう。あとはｘ、ｙ、ｚ、ａ、ｂ、ｃを実際に求めます。残るのはＬと、1文字だけです。なお、ｘ＋ｙ＋ｚは一定値を取ります。あとは微分すれば出せますね。
(2)は角の二等分線の問題。文字ばっかりですが、問題自体は教科書ワークレベル。面積を2通りにして求めましょう。
（詳細は拙著シリーズ 数学I 三角比 p.50 参照 ←この他の解法も紹介）
(3)は(2)のPX'を利用し、ｔ≦(3つの二等分線の和)とし、ｓの方は問題文の不等式を使います。さらに、3つの二等分線の各項の分母に相加・相乗平均の関係を用いると、きれいに２が出ます。
不等号がいっぱいあるので、本来は等号成立を１つ１つ確かなければいけませんが、(1)で２になる三角形の存在が保証されていることが使えます。なので、(1)は単なるサービス問題ではなく、非常に重要な小問なわけですね。
※KATSUYAの解答時間は22:45です。難しくはないですが、記述式となると結構かかりますね。
☆第３問・・・【微積分総合】曲線上の点との距離の最小値、回転体の体積（B、30分、Lv.2）
微積分総合問題です。y=logxという単純な点が題材です。どの問題も独立しており、実質別々のことを３つやるだけの問題です。(1)よりも(2)(3)の方がラクです。
(1)は距離の2乗を関数で表し、微分するだけですが、導関数＝０となるｔがｔ＝１しかないことを示すのが意外とメンドウで、もう一度微分して単調性を述べて説明することになります。微分しても様子が分からない場合は、もう一回微分してみましょう。
これにより、場合分けの境目がｂ＝１，２のときだと分かります。
なお、法線による考え方でも出来なくはないと思いますが、法線が1本しか引けないことを明らかにして、ｔ＝１だけだとして議論を進めるのは危険だと思われます。点が変われば、2本引けることも全然ありえます。
ですので、どちらにしても微分は必要でしょう。
(2)以降の方が簡単。ｘ＝１がｘ軸との交点であること、回転体なので関数を2乗することから、被積分関数はまったく同じで、あとは１~ｂなのかｂ~１なのかだけの違いです。
(3)はさらにラク。こちらも途中で上下関係は変わりますが、2乗するので結局ａ~ａ＋１の積分です。(２)の結果を使いたくなりますが、最小値を取るａを出すだけなので、そのまま定積分関数を微分する方が簡単です。
その意味で(２)の存在意義がイマイチわかりませんでしたね。
※KATSUYAの解答時間は19：38です。(2)(3)のつながりがイマイチ・・・。(３)は面積にしたほうがよかったのでは。時間はかかりますが＾＾；
第４問・・・【２次関数 or 式と曲線】条件を満たす軌跡や点の個数など（BC、40分、Lv.２）
円周上の点との距離の最小値ががｙ座標の定数倍であるような点の軌跡や、それを満たす点の個数に関する問題です。こ設定はシンプルですが、最後まで完答するにはかなりの計算量を要します。制限時間を考えると、最後の問題なので(２)まで出来ればＯＫでしょう。
（１）（２）は同じでほぼ同じです。円周上の点との距離を考える場合は、中心を基準にします。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 式と証明 p.75 参照）
最大値・最小値は｜ｄ±ｒ｜となります。ｄとｒのどっちが大きいかで、(１)と(２)が分かれているだけです。
(３)は結構メンドウです。(１)(２)は楕円であることは気づくと思いますが、これを整理する(標準形に直す)と思ったよりキレイになります。これに気づけると、x=1/2かつ０≦ｙ≦2の範囲で、合計３つあるようなａを視覚的に探せます。それでも計算はまあまあメンドウです。
なお、楕円であることに気づかなくても、x=1/2を入れた時点でｙについての2次方程式となります。(1)の方程式と(2)の方程式の解が合計3個になるようにすればOK。つまり、解の存在範囲の問題に帰着するという方針です。解の存在範囲の基本方針は、D、軸、端点の符号です。
（詳細は拙著シリーズ 数学I ２次関数 p.72 参照）
ただ、この方針だとかなり計算量が膨れますし、合わせて3個というところがまた難しい。(もちろん出来ないことはないです)
なお、(1)(2)ともに解をもつなら円の外部、内部にちゃんとあります(そのことは述べる必要はあるでしょう)。
さらに、計算をしていくうえで、以下のことに気づく必要があります。
・(1)は条件の範囲内に必ず解を1つ(小さい方)持つ。
・(2)は、解を持つなら２つとも(重解含む)範囲内である。
これらのことから、(2)で解を２つもち、(1)の解の大きいほうが２より大きければいいと分かりますが、そもそもこれらに気づくのに相当量の計算が必要ですので、楕円を標準形に直したほうがラクでしょう。
※KATSUYAの解答時間は39:14です。解の存在範囲でやりましたので、かなりしんどかったです。(書くスペースもなくなる・・・)楕円であとでやってみましたが、こちらの方が答案もだいぶスッキリしました。
４．対策
第１問の基本を落とさないために、原則習得は確実に。スピードも必要です。
第１志望でない人は、他の２次の対策をしておけばOKでしょう。理工学部と難易度は似ています。数学IIIまで早めに１ラウンド終わらせて早めに入試演習に入り、入試標準演習レベルまでは最低やってから過去問に入りたいところです。
数学で得点したいなら、仕上げ段階までやってもいいでしょう。論証は完璧な答案を仕上げる対策はコスパが悪いと思います。まずは試したりゴリ押しする力を養う方がいいでしょう。
第１志望の人は、なるべく長年分の過去問を入手しましょう。第１問の小問や論証は癖が強いです。なお、複素数平面は頻出なので、要注意分野と思っておいたほうがいいでしょう。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでしょう。
以上です＾＾
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版！)■
数学I Chapter３～２次関数～ (第４問)
数学I Chapter４～三角比～ (第２問)
数学A Chapter２～確率～ (第１問(2))
数学II Chapter１～式と証明～ (第２問)
数学II Chapter３～図形と式～ (第４問)
数学II Chapter６～微分法～ (第１問(1))
数学II Chapter７～積分法～ (第１問(1))
数学B・C Chapter１～数列～ (第１問(３))
数学B・C Chapter４～複素数平面～ (第１問(３))
数学B・C Chapter５～式と曲線～ (第４問)
数学III Chapter４～微分法２～ (第２問)
数学III Chapter６～積分法(グラフ編)～ (第３問)
すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ！！
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