立命館大学全学方式文系(2/2) 数学講評| 2023年大学入試数学

2023/02/04 2024/01/05

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●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は立命館大学(全学方式文系:2/2)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２３年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２３年大学入試(私大)シリーズ。

立命館大学(全学方式文系:2/2)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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立命館大学（全学部方式文系:2/2）
（試験時間80分、３問、ハイブリッド型）

※ハイブリッド型・・・記述式と穴埋め式が混合しているもの。

１．全体総評～名物第2問の計算がメンドウで微難化～

昨年より少し難しいぐらいで、立命館文系数学は難易度が一定に調整されています。作成者の腕といったところでしょうか。

名物の第２問は今年は少し計算量というか文章が多めで、算数のような数値計算をまあまあやられます。そしてどんどん連動するので、危険度は高め。他は例年通りといったところ。

分野的には第１問で数IIBが、第2問は名物問題でここに確率が、第３問は再び数IIで、少し数IIに偏った出題ですが、おおむねバランスはとれています。

試験時間８０分に対し、標準回答時間は96分【76分】（←穴埋め考慮）

2021年は89分【69分】（←穴埋め考慮）

2021年は88分【68分】（←穴埋め考慮）

2020年は90分【67分】（←穴埋め考慮）

2019年は102分【77分】（←穴埋め考慮）

2018年は100分【74分】（←穴埋め考慮）

2017年は71分【53分】（←穴埋め考慮）

2016年は98分【66分】（←穴埋め考慮）

2015年は68分【46分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン～2/3(65～70％)ぐらいか～

第１問は全部で19個。[1]は確実に取りたいが、「カ」は差がつくか。[2]は最後の面積は差が付きそう。それ以外は欲しい。[3]は「ツ」「テ」あたりがキー問題。それ以外は取りたい。15問以上が目標。

第２問は名物問題で、今年はここがキー問題。今回は文章が長いのでどこまで食らいつけたか。特に後半は前半の答えに連動しているところが多いので、大けがする可能性もある。

第３問は書くべきことは多いが、1つ1つは青チャート重要例題ぐらいの典型レベルなので、第２問でやばそうならここでしっかり稼ぐ。

第1問、第３問を先に片づけ、残り時間でゆっくり第２問という作戦がよかったかも。全体として2/3ぐらい欲しい。

３．各問の難易度

緑色のコメントは、問題を解く上で必要な原則を表しています。

第１問[1]・・・【複素数と方程式】3次方程式の解と係数の関係（AB、8分【5分】、Lv.2）

最初は3次方程式の解の対称式を求める問題で、典型パターン。

解の対称式は、解と係数の関係で基本対称式を準備しておくのが原則です。

Principle Piece

2次、3次方程式の解の対称式の値

→ 解と係数の関係の利用で基本対称式を準備

（詳細は拙著シリーズ数学II 複素数と方程式 p.12 参照）

そもそも、最初に基本対称式を聞いています。最高次の係数が２なので忘れずに。これ忘れると全滅です。

(1)は2乗和で瞬殺。(2)は展開しても行けますが、この手の問題は元の式の因数分解を考えます。解がα、β、γなので、3次方程式の左辺は2(x－α)(x－β)(x－γ)とおけます。これにｘ＝１を入れれば、求めたい式の－２倍が出ます。

(3)はうまく計算しないとメンドウ。まず最初の３つは、解の和がー１であることから、(－１－α)(－１－β)(－１－γ)とします。これで、(2)と同じように、3次式にｘ＝－１を入れます。後半は通分すれば分子も分母も基本対称式です。

(4)は3乗和なので基本の式変形ですね。

なお、漸化式的に解くことも出来ます。(下の動画を参照)

☆第１問[2]・・・【微積分】放物線と円弧で囲まれる部分の面積（B、15分【10分】、Lv.２）

ここは微積分総合で、放物線と円絡みの面積です。

（１）は接線と法線を求めるだけなので、接線の公式にあてはめましょう。

（２）は（１）が使えます。放物線と円が1つだけ共有点をもつ(接する)ということなので、ABを半径とする円を書けば、ABは放物線の接線②に垂直なので②は円にも接します。なので、これが求める円です。

（３）最後の面積は、おそらくｘ≦2の部分の有限領域の部分でしょう。(問題文の条件では特定できないですが＾＾；)

こちらの原則をきちんと習得していれば手が止まることはないでしょう。

Principle Piece

円弧を含む部分の面積 → 中心と結んでおうぎ形を見つけよ

（詳細は拙著シリーズ数学II 積分法 p.62 参照）

接点と中心を結べば、おうぎ形が見えます。あとはどの部分からそのおうぎ形を引くかを考えれば解けますね。

☆第１問（3）・・・【平面ベクトル】三角形の面積、点Pの軌跡との交点など（B、18分【12分】、Lv.2）

今年もここは平面ベクトルでした。で、円軌跡を求める問題が絡み、円との交点も出します。計算は少し多め。

最初は典型パターンです。平面ベクトルでは、2つのベクトルの長さを内積の３つさえわかれば何でも出せます。条件式も３つあるので、全部出るはずですね。面積はsinに変えて面積公式でもいいし、ベクトルの面積公式でもOK。

後半は軌跡です。直径の両端公式のの軌跡ですが、OBはマイナスが付くので注意。Oを結んでBと反対側の点と、点Aが直径の両端になります。なので、その長さの半分が半径です。余弦定理でもいいですし、｜OA→ーOB→｜を2乗して出してもOK。

最後は、OB上の点をｋOB→とでもおいて、｜CD→｜＝半径を解くだけです。CD→は基本ベクトルのOA→、OB→で表しましょう。

なお、交点のうち１つはBと反対側なので、2次方程式の解の１つはｋ＝－１のはずです。これで途中の検算が出来ます。他の解の方を採用すればOKですね。

※KATSUYAの解答時間は計13:34です。

第２問・・・【確率】効用の考え方（B、30分【20分】、Lv.１）

立命館文系の第２問は名物、身近な数学問題です。今年は確率でしたが、期待値の考え方が若干入っています。問題文に説明があるので知らなくてもOKです。全体的にひたすら算数的な計算をするだけですが、計算量も多めでかなり長いことと、答えが連動するので、前半でミスると全滅に近くなります。

文章の長さ的にも、期待値が導入される再来年以降の共通テストに出そうな問題ですね。

題材としては、特定の数値が書いてある20面体のサイコロを投げ、得点を考える問題です。最初から最後までこれ。

前半は、赤と青の2種類の20面体サイコロです。最初の確率はいいでしょう。ここでミスると0点です。

次の後悔する確率についてはちょっと表現不足な気がしますが、文章全体の流れからして、参加者が赤を選ぶか青を選ぶかの確率は考えないということでしょう。ですので、赤を選択したという条件のもとで、後悔する確率(条件付き確率)と考えます。青の方が点数が高くなる場合を考えればOK。青の方も同様。

効用については、ここまでの確率が正しくできていれば出せます。ただの算数計算ですが、慎重に。これで「ケ」まで行けますね。逆に確率をどこかミスっていると、必ず他もミスります。

後半は白が加わり、3種類の20面体サイコロで同じ計算をします。こちらも、後悔する確率は条件付き確率と考えます。２つのときより計算がメンドウなので慎重に。効用についても同様。ひたすら計算します。空欄が多くで構えますが、新しく求めるのは「ソ」「タ」「チ」だけです。これが正確に出来れば、最後まで完答できます。

時間さえかけてゆっくり整理して計算すれば最後までいけますね。なので、時間を確保できたかどうかです。

※KATSUYAの解答時間は17：33です。今年はまあまあメンドウなタイプか。後悔の確率は、赤を選ぶかどうかはどうするのか読み直すが、書いてない。これ、ここでミスったら終わりやけど、それがはっきり書かれてないのはちょっと・・・＾＾；　全体の流れからすると、それは考慮しないと判断(考慮すると、サイコロの種類が増えるほど後悔の確率が減り、効用は全部増えてしまい、比較できないので)。　結構疲れた。