名古屋大学理系数学講評| 2023年大学入試数学

2023/03/04 2024/01/17

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●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２３年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２３年大学入試（国公立）シリーズ。
名古屋大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

★お知らせ★

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾　原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

Twitter始めました　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

名古屋大学（理系）
（試験時間150分、４問、記述式）

１．全体総評～重めのものと軽めのものがバランスよく～

全体としては、昨年比では変化なしか微難化です。昨年は4番を除けば、時間をかければ最後まで解き切れるものでしたが、今年は2番の計算量が非常に多い(＋式変形が難しい)のと、4番の有名題材に関する論証は差がついたでしょう。

分野的には数IIIから3題とかなり数IIIによった出題となっていますが、積分はあまりありませんでした。また、文理共通問題も今年はありませんでした。

試験時間150分に対し、標準回答時間は150分。

2022年：130分

2021年：120分

2020年：135分

2019年：145分

2018年：125分

2017年：160分

2016年：200分(4番を捨てれば80分で済むが)

2015年：145分

2014年：140分

2013年：135分

2012年：150分

2011年：125分

2010年：135分

２．合格ライン

第１問はこのセットであればおさえたい。

第２問の(3)まではなんとか取りたいが、(4)は計算量多すぎでキツイ。(3)の時点できつそうなのは察しがつくので、飛ばすのが正解。

第３問はキー問題か。(2)が出来れば(3)は途中までほとんど変わらないので行けるが、(1)止まりの可能性もある。

第４問は有名題材の論証系だが、大物級ではなく、題材を知らなくても(2)までは解ける。(3)はキー問題で差が付きそう。

第１問は確保。第２問の(1)(2)(3)、第3問(1)、第4問(1)(2)を確保。これで半分強ぐらいはある。あとは第3問を解き切ればOKでしょう。第2問(4)と第4問(3)は捨てても、他で確実に取れれば大丈夫なはず。

60％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問【複素数平面】解が同一円周上にある条件（B,25分、Lv.2）

4次方程式の解が同一円周上にあるような係数の条件などを求める問題です。誘導がついているので最後まで方針でつまることはないかと。これはおさえたい。

（１）はαが|α-1|=1を満たすことを利用し、変形するだけです。共役かければ2乗になりますね。α＝１＋cosθ+isinθとおいて両辺計算してももちろんOK。

（２）は(1)も利用しながら、4次方程式の解と係数の関係のようなものを導く問題。名大理系受験者であれば、4次方程式が2重解を持つ(複接線を出す問題)などで経験があるはず。

例えば、3次の係数は解の和の符号替え、2次の係数は2解の積(全4C2=6通り)の和です。

(3)は(t+u,tu)の取る範囲で、対称式絡みの領域の最もひな型になるパターンです。

対象域絡みの領域では、基本対称式を主役にすることが原則。その際、実数解条件に注意することも大丈夫でしょう。

Principle Piece

対称式絡みの領域は基本対称式を主役に

「暗黙の実数解条件」に注意

（詳細は拙著シリーズ数学II 図形と方程式 p.96 参照　本書もほぼそのまま載っています）

今回は実数解条件Dだけでなく、ｔ，ｕが異なること、さらにｔ，ｕが共役複数の和であることから、実部の2倍を考えて０～４であることが入ります。０～４で異なる2解を持つ条件なので、Ｄ、軸、端っこの符号ですね。

Principle Piece

解の存在範囲：2解とも範囲指定→D,軸、端点を調べる

（詳細は拙著シリーズ数学I ２次関数 p.72 参照）

※KATSUYAの解答時間は14:27です。去年の1番よりかかってるけど、普段の名大よりは楽な印象。

第２問【微積分(図形)+極限】回転体の体積の最大値、極限値（BC、60分、Lv.２）

2円が絡む部分をｘ軸の周りに回転させてできる立体の体積の最大値を求める問題です。設定は単純で式を作ることは簡単ですが、文字ばかりなので非常に計算がメンドウです。(3)まではh(ｒ)のまま残していいのでまだラクですが、(4)はキツイ。

（１）はいいでしょう。2円の共有点条件は中心間の距離と2円の半径の和、差の大小で表せばＯＫ。

（２）も円と円交点を出すだけです。2次の係数を消すために辺々を引けば、ｘしか残らないのですぐに出ます。

（３）は少しメンドウですが、左側が円錐、右側が球の一部になります。円錐の体積のために（２）の交点のｙ座標も必要になりますが、それさえ出せばあとはなんとかなるはず。球の一部は積分ですが、多項式になるので積分計算はラクですね。

（４）は捨て問級にメンドウ。(3)の時点で嫌な予感はするので飛ばせたと思います。実際ｈ(ｒ)を戻したうえで微分していくことになりますが、相当長い計算を強いられますし、整理しても因数分解が出来る気がしない式が出ます。

強引に解の公式で計算して、ルートの中がはずれることで判断するのが賢明でしょう。ようやく安心という感じですが、まだ安心するの早い。この式が(1)の範囲を満たすことも確認します。幸いこれはそこまでしんどくないですが、そもそもｒ(a)の値を出すのがキツイですね。

※KATSUYAの解答時間39:59。（4)は捨て問かな。計算がとにかくメンドウ。

☆第３問【微分法】２つのグラフの共有点の個数（B、30分、Lv.2）

引き続き数IIIからで、今度は２つのグラフの共有点の個数です。３問連続数III。微分を繰り返せば見えるタイプの問題ですが、１回の微分でうまくいかずに手をこまねいた人もるかもしれないので、差が付きそうです。

（１）は差を取った式を微分します。不等式でもそうですが、数III初出の関数を含む方程式は、左辺によせて微分するのが原則。

最初は１回の微分で済みます。e^xの方は正、右辺の微分はx<0では負が言えますので、左辺－右辺は単調増加です。あとは、ｘ＝０とｘ＝－１あたりを調べれば異符号がいえます。(なお、解はx=ー０．７５ぐらいです)

（２）は変形の仕方に依りますが、素直な変形はe^x－x(x^2-3)=f(x)とでも置くことでしょう。これで微分をすると1回だけではまた様子は分かりかねます。微分してわかなければもう一回微分です。e^xや三角関数は、微分を続ければ多項式部分が消えていきますので、徐々に見やすくなります。

2回目の微分でe^x－6xとなり、ｘ＜０であれば正なので、f'(x)が単調増加→解が1個あると分かり、ここからf(x)は1度だけ減少から増加に代わります。その極小値が正、負、０かで解の個数が決まります。極小値をとるｘの値は出せませんが、その近くのf(-1)が負であることが言えるので、極小値も負です。これに気づけるかどうかですね。

（３）は(2)とまったく同じようにやると、極小値が１つあります(ｘ＝ｐ)が、解が1個になるのは、その極小値が０になるときですので、f(p)=f'(p)=0となるときです。これを連立すると(1)の式が出てきますので、めでたしですね。

※KATSUYAの解答時間は19:11です。(2)は(1)を使わず、と(3)が(2)と同じような感じでイマイチ不完全燃焼。(3)だけでよかったような＾＾；

☆第４問【式と証明】スターリング数に関する等式の証明（C、50分、Lv.３）

最後は名大でよく出る論証系の問題です。(第1種)スターリング数とよばれる有名な題材が背景になっています。知らなくても全く問題なく解けます。

名大で3，4年に1度出る大物系の論証のようなにおいがしますが、本問は比較的簡単に(2)までは行けます。(3)は少し難しめですが、(2)の式をコツコツ書き並べてみるとつながりが分かります。

（１）は係数の和ですから、ｘ＝１の代入が思いつくでしょう。

（２）は問題文の後半のPn(x)の式のｘ→ｘ＋１にするだけです。あとは二項展開なのも明らかでしょう。ほぼ明らかに近いものをわざわざ丁寧書き出して問題にしてあるということは、これを使えというメッセージととらえるのが自然。

（３）は証明すべき式もごついので、いきなり出たらたしかにちょっと戸惑いそうですが、(2)からP(ｘ＋１)を使いそうであることを予想したいところ。Pn+1(ｘ)を書いてみると、ｘPn(x+1)となることが分かります。これに気づけば勝ち確に近いでしょう。

求めたいのはPn+1(x)のx^k+1の係数ですが、それはPn(x+1)のx^kの係数と同じと分かります。ここで、(2)の右辺を存分に活用します。いくつか書いていくと階段状になっていくことが分かると思います。(Sさん、Yさんのやり方です。これが見やすくてスタンダードかと)

x^kが初めて出るときから後ろの項を注意深く観察すれば、x^kの係数を和の形で表せます。それが(3)の左辺になることを確認すればOKですね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は17:46です。(1)(2)はほぼ瞬殺。(3)もPn+1(x)を見て、xPn(x+1)になるとすぐにわかったので、明らかに(2)を思いっきり使うと判断し、コツコツ書き並べて終了。

４．対策

頻出分野は微積、確率(漸化式と絡むことが多い)、整数の論証系です。(III、A、Bといった印象)

どれも計算量もあり、かつ発想もある程度必要なものが多いです。出題分野も似ている東大レベルで練習を積んでおいてもいいぐらいでしょう。

BレベルとCレベルが５分５分ぐらいで出題されます。Bレベルを落とさないことを最優先に、さらに上のせしていきましょう。Cレベル以上を意識しすぎると、逆効果。Cレベルは、３割とれればいい、ぐらいの気持ちでいるほうがいいでしょう。それよりも、D以上を嗅ぎ分ける能力が本学では必要です。2019年の第４問のようなものを、避けられることも重要。過去問で嗅ぎ分けの練習をしましょう。

最終段階では、仕上げ段階まで行っておきたいですが、ここまで行ったとしても点数につながらない問題も出るかもしれません。本学の場合、他の科目を犠牲にしてまで数学に時間を取られることのないようにしましょう。合計で合格すればいいのです。

単科長年タイプの過去問もありますので、ある程度のレベルに達したと感じたら、これに絞って研究するのもいいかもしれません。

※名大理系数学は大竹先生が書いておられます。私も高校生のときにご指導いただいた先生で、個人的には非常にオススメです。