早稲田大学理工学部数学講評| 2023年大学入試数学

2023/02/18 2024/01/05

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●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は早稲田大学(理工学部)です。

２０２３年大学入試（私大）シリーズ。

早稲田大学(理工学部)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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YouTubeチャンネルです　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

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早稲田大学（理工学部）
（試験時間120分、5問、記述式）

１．全体総評～誘導が丁寧(過剰)で点数は稼ぎやすい～

昨年より易化しました。質・量ともに良問セットであるのは変わらないのですが、少し誘導が丁寧すぎるかな、という印象です。

(理工なので少ないとは思いますが)数学が相対的に得意でない人も、このセットであれば方針に迷うことなく進められた問題も多かったと思います。逆に、数学が得意な人からすると点数の差をつけにくい試験になったかもしれません。量的には適正(制限時間＋10％程度)なので、すべて解き切ることで差をつけることになるでしょう。計算力勝負になったかもしれませんね。

分野的には複素数平面、確率、微積分など例年通りの分野と、早稲田理工としては少し珍しい整数問題でした。

試験時間120分に対し、標準回答時間は133分

2022年：145分

2021年：130分

2020年：140分

2019年：145分

2018年：160分

2017年：160分

2016年：135分

2015年：150分

2014年：135分

２．合格ライン

(全科目の合格最低点は、55％～60％程度)

第１問はキー問題。他の問題に比べて、誘導が適量であることと、整数問題なので差がつきやすい。

第２問はポリアの壺と呼ばれる問題。ノーヒントであれば差がつきそうだが、実験を促す(強制する)問いがあるので、ある程度の点数は取れる。

第３問は数IIIの微積分だが、かなり軽めなのでこれは必ずおさえる。

第４問は複素数平面。こちらも誘導によってただの計算問題に。題材としては早稲田理工が好きな感じ。

第５問はキー問題。こちらも誘導はかなり丁寧だが、途中で場合分けも必要になることもあり、適度に差はつくと思われる。

今年は多くの人が点数を稼ぎやすいので普段よりは高得点の勝負になるでしょう。70%でようやく安心できる感じですかね。

動画でも(動画撮影・編集技術向上等の練習を兼ねて)紹介しています。内容はほぼ同じです。お好みで好きな方を見てください。

３．各問の難易度

☆第１問　【整数+数列】漸化式、互いに素であることの証明（B、25分、Lv.２）

整式のｎ乗を割った余りをanx＋ｂnとおき、その数列に関する性質を証明します。

（１）は(a_nx+b_n)(3x+2)をx^2+x+1で割った余りになることを説明するだけ。多項式で割った余りに着目するときは、P=BQ+Rの形で表すのが原則。

Principle Piece

多項式で割った余り → P=BQ+R と表しておく

（詳細は拙著シリーズ数学II 複素数と方程式 p.26 参照）

（２）は適度に差がついたと思われます。漸化式で定められた数列に対して●で割り切れる(余りがゼロでない)と聞かれたら、周期性がポイントになることがほとんどです。東大や一橋大などにも過去に数回出ている考え方です。

Principle Piece

漸化式＋余り → 周期性を見る

（詳細は拙著シリーズ数学B 数列 ※執筆中です(23年2月現在)）

今回は周期を調べようとすると、ずっと余りが同じであることがすぐに予想が付きますので、あとは帰納法ですね。

(3)は(2)を利用しますが、こちらも誘導が丁寧。a_n、b_nをa_(n+1)、b_(n+1)で表すと分母に７が出てきます。これが（２）とつながります。

互いに素の証明は背理法がうまくいくことが多いです。

Principle Piece

互いに素であることの証明→公約数の存在を仮定

（詳細は拙著シリーズ数学A 整数 p.68 参照）

もしa_(n+1)、b_(n+1)に共通な素因数ｐがあれば、それは７ではありません。従って、分母の７によってこのｐは消えず、anやbnも素因数ｐがあることになります。漸化式なので、どんどんずらしていけば、最終的にa1、b1も共通な素因数があることになりますが、それは矛盾ですね。

※ KATSUYAの解答時間は17:22です。証明せよがおおいとやっぱり時間はかかりますね。

☆第２問　【確率】ポリアの壺と確率（B、25分、Lv.2）

ポリアの壺と呼ばれる有名な確率の問題を題材にしたものです。同志社大学などで過去に類題があります。

今回の問題は同志社の過去問に比べると全然カンタンで、誘導もあるので手は付けやすかったと思います。

（１）では、実験を強制させるようにP1(k)、P2(k)を出せとあります。これにより、ｋの値に依らずに一定の値を取ることは予想が付きます。予想が付けば帰納法です。(そういう意味では、第1問とやってること同じですね。)

少し説明しにくいかもですが、帰納法でなくて直接でも可能だとは思います。赤をｋ回、黒をｎ－ｋ回とるとき、赤と黒並び方であろうがかけ算の式が同じになることを説明します。

赤は回数が増えるたびに袋の中の個数が１，２，３…ｋと増え、黒も１，２，３…n-kと増えます。従って、赤と黒の並び順に関係なく、分子はこれらの積です。分母は２・３・４・…n+1なのは明らかですね。あとは並び方ｎCkをかけます。階乗の式で表していけばキレイにきえます。

k=0,n(端っこ)のときだけは上の式に当てはまらないので、別途調べます。例外のチェックまで出来たかどうかは少し差が出るところでしょう。

（２）は（１）より簡単です。ｋ回目だけ赤と指定されているので、並び順も固定です。かけ算の式を階乗であらわしたときにｋがなくなることもすぐわかります。こちらも端っこ(ｋ＝１、ｎ)には注意。また、回数が少ないときも別途調べる必要があります。

この手の問題は、回数が少ないときや状況が極端な場合には別途調べる必要があるかも、と常に思っておいた方がいいです。

※KATSUYAの解答時間は18:01です。(1)は漸化式で説明するか分数の形で説明するか迷い、分数の形で説明しました。漸化式の方がラクだったかも＾＾；

第３問　【微積分】元の関数、および逆関数で囲まれた部分の面積（AB、18分、Lv.1）

微積分総合問題で、単純な関数とその逆関数で囲まれた部分の面積を求めます。こちらもかなり小問で刻まれており、計算も軽めなので、これは最後までしっかり答えたいです。

（１）はいいですね。ｘとｙをひっくり返してｙについて解くなりすればOK。

（２）は共有点の個数ですが、微分して増減を調べ、符号が変わるタイミングが２回ある(中間値の定理の利用)ことを言えばOK。

e^xのような関数(化け物関数と私は呼んでいます)と多項式関数は、特殊な場合を除いて交点を計算で出すことは出来ませんので、中間値の定理を利用します。

（３）は(1)(2)を利用します。逆関数のグラフはｙ＝ｘに関して対称ですから、求める領域もｙ＝ｘについて対称ですし、ｙ＝ｘとの交点は逆関数のグラフ上にもあります。これらの事実を利用すればグラフは簡単に書けますし、面積も出せますね。交点は出せませんが、交点が満たす等式を用意すれば、指数項も多項式になりますね。

Principle Piece

交点が求まらない→それが満たす等式を用意する

※KATSUYAの解答時間：タイマー押し忘れていました。第３問~第5問で1時間3分ぐらいです。

☆第４問　【複素数平面】1次分数変換、軌跡（BC、25分、Lv.2）

早稲田理工の好きな複素数平面からです。線分上の点ｚについて、3/zによる1次分数変換によって移る先の軌跡を求める問題。早稲田理工は、複素数平面上で線分上(直線ではなく)の点を変換で移すの好きですね(2017、2021年もそうでした)。

(1)はただの計算です。

(2)がメインの部分ですが、ｗの軌跡を求めるための大ヒントになっています。これがなければ本セット最難問になったと思いますが、この誘導によってただの計算問題になっています。最後の計算から、ｗの軌跡が円であることもバレバレで、その計算をアシストするのが、αｚの実部の計算です。さすがに親切すぎますね＾＾；

(3)は(2)によってｗの軌跡が円と分かります。あとはそのうちどこを動くかです。複素数平面なので、偏角で議論をするのがラクで確実だと思います。

円のような軌跡において、実部の動く範囲や虚部の動く範囲で議論するのはリスキーです。－1≦ｘ≦１、－１≦ｙ≦１だからといって単位円周上を全て動くわけではないですよね。

偏角で議論をすると、求めた円のうち第４象限(＋軸上)を動くことが分かります。これが分かれば、面積も簡単に出せます。

※KATSUYAの解答時間：タイマー押し忘れていました。第３問~第5問で1時間3分ぐらいです。(2)によってただの計算問題に＾＾；直線の式をβバーｚ＋βｚバー＝●みたいな感じで表してｚ＝3/wを代入させるとかの流れだと、差がつく問題に出来そう。

☆第５問・・・【積分法(応用)】三角形の通過領域の体積（BC、30分、Lv.２）

最後は体積を求める問題で、回転軸と同一平面上にない三角形を回転させたときの通過領域です。こちらも順番に、かつ細かく刻まれて小問にしてありますので、ある程度のところまでは手が付きます。(3)は場合分けが発生するので、そこで差は出そうです。

（１）はいいでしょう。内積を計算した段階で90°と分かります。

(２）（３）は（４）のための準備になります。ABCを回転する前に切断し、断面を特定します。

Principle Piece

回転体は回転する前に切れ

回転してから切った断面と、切ってから回転させたときの領域は同じになります。これを利用して、先に切ったものを回転させて断面積を出すための準備を(2)と(3)で行います。

(2)はｘ＝ｈで切ったときの交点を出します。これによって、ｘ＝ｈで回転させるものがｙ軸に平行な線分だと分かります。これを回転させると、ドーナツ型になりますね。

ドーナツ型の面積を出すには、原点からの距離の最大値(これが外半径)と最小値(これが内半径)を求める必要があります。そのうち、内半径の方を出すのが(3)です。内半径の方はｈの値によって場所が変わることがポイントで、ここに気づくかで本問の出来は分かれたと思います。平面ｘ＝ｈの図を書けば気づきやすいとは思います。

(4)(3)で内半径は出ています。あとは外半径を求めるだけです(こちらは場合分け不要)。断面が出たら、ｈの範囲によって区間を分けて積分すれば体積も出ます。(3)が出来れば(4)まで行けるでしょう。

※KATSUYAの解答時間：タイマー押し忘れていました。第３問~第5問で1時間3分ぐらいです。東大なら誘導なしで出そう。東大志望者はぜひ解いてみてほしいですね。