早稲田大学理工学部 | 2020年大学入試数学

2020/02/23

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は早稲田大学(理工学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２０年大学入試（私大）シリーズ。

早稲田大学(理工学部)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

早稲田大学（理工学部）
（試験時間120分、5問、記述式）

１．全体総評～部分点は狙いやすいセット～

制限時間に対してはまだ分量は多いですが、ここ２年は手がつけやすいです。

全問に数IIIが絡み複素数平面復活。４問は本格的な数IIIで残りは確率と、分野は若干偏っていました。

※全体的に練られた良問が多いだけに、一番時間を取られるであろう5番の出題ミスはちょっと・・・・と感じでした。

試験時間120分に対し、標準回答時間は140分

2019年：145分。

2018年：160分

2017年：160分

2016年：135分

2015年：150分

2014年：135分

２．合格ライン

(全科目の合格最低点は、55％～60％程度)

第１問~第４問がどれもキー問題になり得ます。第３問は演習をサボりがちな分野のため、比較的差が出やすいでしょう。

ここで２完２半出来ればいいのでは。

第５問は捨て候補の（３）（４）が全員得点になってしまっている関係で差はつきにくい。でも（１）（２）も適当に書くと間違えると思いますので、そこだけキー問題。

第５問は半分以上は確定なので、残りの4問で２完２半出来れば70％ぐらいとれます。数学は少しボーダーが上がりそうですね。

３．各問の難易度

☆第１問　【複素数平面】条件を満たす3点の位置関係、式の値（B、25分、Lv.２）

今年は複素数平面が復活。ベクトルでもよく見かける条件式で、正三角形になる３点について、式の値を求める問題。

（１）でまず正三角形になる事を示します。ベクトル的にやるなら、α＋β＝－γ　にして絶対値付けて2乗します。αβ(バー)＋α(バー)β＝－１とでますので、あとは「α(バー)＝1/α」などを用いると(α/β)の2次方程式が出来ますので、その解からなす角が120°と分かります。どの２つもなす角が120°なら、正三角形ですね。

（２）は正三角形と分かれば、120°ずつずらした点になりますので、αの偏角をθとして、120°ずつずらせばOK。どの項も偏角が360°の倍数、絶対値は１なので１となります。（３）を見据えて、120°回転＝ω利用を思いつくとなおよしですね。

（３）では、ｎ乗和の値ですが、指数が「３で割り切れない」などという問題文や、120°回転などから、ω利用が自然な発想ではないかと思います。3点をα、αω、αω^2　としてｎ乗和をとります。ωに関しては、ω^3=1、１＋ω＋ω^2=0の２つの式さえ利用すれば、99%解決します。

※ KATSUYAの感想：13分で終了しています。条件式的に正三角形パターンね。あ、（１）でそれを証明しろと。ベクトル的にすすめる。そもそもベクトルにした方がはやかったかな。まいいや。（２）は（３）も見据えて、ここでωに変えておいたのであとは原則通りに進める。複素数平面と言うよりは複素数の問題かな。

☆第２問　【微分(III)】放物線に接する円、接線、法線、極小値（BC、25分、Lv.2）

放物線と接する円について、その中心のｙ座標の極小値を求める問題。こ誘導も丁寧なので、方針は立ちやすいと思います。最後は場合分けがあることに注意。

（１）（２）はいいでしょう。接線、法線の式にあてはめるだけです。法線についてはｙ軸（ｘ＝０）になるときだけ別に議論をすることに注意。

（３）はベクトル的に、点Pから法線の方向にｄだけ進むと考えるといいでしょう。（１）で接線の式がありますので、その係数を見て法線ベクトルを作ります。ｙ座標がPより大きくなる方向なので、（－ｔ、１）とすればOK。円の中心はベクトル的に辿るとうまくいくことがおおいですね＾＾

（４）は（３）の式を微分することになりますが、ｄの値によって極値の取り方が変わることに注意。ここで差がつきそうですね。t^2+1が１以上であることから、ｄ≦１とｄ＞１で場合分けをすることになります。計算自体はたいしたことはないです。

※KATSUYAの感想：16分で解答しています。放物線と円か。なんか嫌な予感。（１）（２）はとりあえずさくっと。（３）は・・・（２）を利用してほしい？いや、ベクトル的にやったほうが個人的にはラクだわ。（４）はこれを微分するのね。なんや結構カンタン＾＾　極値は・・・ｔ＝０と、、、、ん？ｄによるな。場合分けか。ここがポイントと判断。

☆第３問　【積分法】水入れの問題、深さ（ＢC、20分、Lv.２）

水入れに関する問題です。演習量が少なくなりがちなタイプだと思います。ここは差が出る問題となるでしょう。

水入れの問題については、1次元に諸量を統一する方針に決めておけばラクかと思います。簡単な球で具体的に説明します。

球の場合であれば、体積の増加速度dV/dtや表面積増加速度dS/dt、半径の増加速度dr/dtなどを聞かれますが、VやSは1次元の量であるｒの式で表すのがラクです。従って、dV/dt=dV/dr・dr/dt＝４πr^2・dr/dtなどとすればすべて「ｒ」の式になります。Sなども同様です。1次元の速度dr/dtで表しておくのがラクということです。

球でなくても、この方法は使えます。本問の場合は、ｔ秒後に水はｖtだけ入っており、同時にh(t)の高さまで溜まっていることから、「ｖt＝π∫g(y)^2dy　(積分区間０~h(t))」の関係式が得られます。これを微分すれば、左辺はｖ（水の溜まる速さ）、右辺はh(t)やh'(t)（水の上昇速度）となります。

これで（１）も（２）も出来るはずです。計算もそんなに要りませんので、やり方がしっかり確立されている人にとってはたいしたことない問題ですね。

※KATSUYAの感想：９分で終了しています。水入れか。受験生が演習してないところを突いてきたか。計算もあんまりないから時間もかからんし。出来る人にはサービス問題。差がつきやすそう。

☆第４問　【確率＋極限＋数列】復元抽出、等差×等比の和の極限（BC、25分、Lv.２）

極限の絡んだ確率で、最後に等差×等比も聞いてきます。ボリュームはありますが、ルールから規則がつかめれば順番に出すだけです。ルールから、確率自体も極限になることに気づけたかどうかがカギとなります。

（１）は小さい数字でお試し。１，２，１，２、・・・・と引きます。1番の人が何回目で赤を引くかです。続けようと思えば無限回つづくので、極限となります。１の人がｍ回目で赤を引く確率をｍで表しましょう。無限等比級数になるのは見えていますので、あとは和をとります。

（２）は（１）で見えれば楽勝です。比を聞かれているだけですが、どうせ（３）で必要なので、（１）の要領でpk(n)を直接出せばいいでしょう。番号ｋの人がｍ回目に赤を引く確率を出し、無限和を取ります。

（３）は等差×等比の無限和になります。（１－公比）Sを計算しましょう。1/αとなりますので、αが小さい方がEは大きいです。ということは、条件下であれば両方a=b=1010であればOK。（a≧bがなければa=1、b=2019のときです。）

※Eは「期待値」と呼ばれる値です。だいたい何番の人がとる可能性があるかです。普通に考えて「赤が多いと先の番号の人が引きやすい」でしょうから、aが小さい方がいいですよね。

※KATSUYAの感想：１６分で解答しています。確率に和の極限絡めてくるのはこの学校好きな気がするけど、記憶違いかな？ちょっとあとで数年分調べてみるか。問題自体は上記のとおりに計算して詰まることなく終了。

☆第５問・・・【積分法応用(のはずが・・・)】不等式の表す領域(の面積、体積)（BC、45分、Lv.２）

※（４）まで解ける設定であればという意味で45分としてます。

対称性の高い４つの不等式で表される領域の図示です。閉じた領域でなかったので、問題文の設定では面積や体積を求められませんでした。「Dの中の閉領域」とでも書いておけばよかったですね。グラフも練られており、形もキレイなだけに勿体ない。。。

（１）はただのグラフですが、同じ座標平面上にというところが意味深で、適当に書くと足元見られます。２つのグラフが逆関数になるので、ｙ＝ｘに関して対称であることは分かると思いますが、ｙ＝e^(x-1)のグラフは、(1,1)において対称軸であるｙ＝ｘが接線になることなどが頭にないと、正解の図を書くのは難しいでしょう。(1,1)以外に右上の方で交わるような図を書きがちです。（なぜそう言えるか。私が最初にそう書いたからです＾＾；）

（２）は（１）で正確な図をかけること、領域の境界が（１）や（２）で書いたグラフとｘ軸、ｙ軸に関して対称なものばかりであることに気づけば、８個同じ形のものを書けばOK。（３）（４）を見てしまうと、閉領域だけを書きがちですが、外にも領域があります。

それにより、（３）（４）はボツになってしまいました。閉領域の部分の面積や体積は計算練習にはなるので、やってみるといいと思います。T進さんは想定解答として計算してくれていました。

※KATSUYAの感想：（２）までなら15分。(4)までで28分。（１）で適当にｙ＝ｘで折り返したため、（２）を見て「はぁ？めっちゃ複雑になりそう」と感じる。それで（３）（４）まである。「うーん、これは（１）が違うんやわ」と思い、吟味しなおし。そもそも、(1,1)以外で交点があるかどうかやな。いや、これ接線やん。同じ座標平面上にってそういうことか。意図を理解し、（１）（２）両方書く。ん？領域が閉じてないけど＾＾；　問題文の不備かな。まあ、中だけ求めろってことやろうと判断し、（３）（４）まで解く。結果的には全員得点なので、なんか損した気分＾＾；