北海道大学 文系 | 2017年度大学入試数学

   

●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2017年大学入試(国公立)シリーズ。
北海道大学(文系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





北海道大学(文系)
(試験時間90分、4問、記述式)

 

1.全体総評~理系同様にリバウンドしやや易化~

理系と同様に、難易度は少し下がりました。整数は昨年より易化です。ただ、2番のように考えづらい問題や、北大文系ではあまり見かけない確率と漸化式など、演習量によって出来が分かれる問題が多く、例年よりは難しいかもしれません。



試験時間90分に対し、
標準回答時間は80分。適量です。類題経験がある人には余裕のある試験です。

2016年:90分
2015年:95分
2014年:100分

北大文系は、量が試験時間前後で安定しています。

2.合格ライン

第1問は整数。昨年よりだいぶ簡単で誘導もあるので、これは抑えたい。

第2問はキー問題。(1)からつまづく可能性がある。垂直条件の式変形の仕方がカギ。

第3問は確率と漸化式。旧7帝大理系なら取れないとまずいが、文系での出題のためキー問題。

第4問は標準レベルの微積分総合。文字は含むものの、(1)と(2)はほぼ独立。最低でも片方、できれば両方とりたい。


第2、3問を両方(1)までで1番と4番をおさえて65%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

第1問・・・【整数+式と証明】条件を満たす自然数(AB,15分、Lv1)

今年の整数問題は昨年よりかなり考えやすく、誘導過剰気味です。なお、文理共通問題です(数値がわずかに違うのみ)が、文理ともに落とせないレベル。

理系のエントリーをご覧下さい。

 

※KATSUYAの解いた感想
ほぼ共通のため、解いていません。

第2問・・・【平面ベクトル】円、垂直条件、線分の長さ(B、25分、Lv.2)

円周上の内部の点A(定点)、および円周上の2点P,Qについて、APとPQが垂直にあるようにP,Qを動かしたときの問題です。始点をそろえて後ろから前を引く という超根本的な考え方に従えばできますが、文字が多くて少しやりづらい問題。

Principle Piece B-25

 ベクトルの引き算は始点(起点)合わせの公式

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.9)

※以下、ベクトル式です。

ARなので、ORーOAとします。OR=OP+OQ/2です。ので、これで2乗します。ここで出てくるのが、OA・OPおよびOA・OQです。ここで垂直条件を使ってうまく式を処理しますが、垂直条件は始点がAなので、これもOに合わせると見えてきましたね。

これに気づかないと(1)は出来ませんし、(2)はほぼ同じ式変形を強いられますので、これも厳しいでしょう。

なお、OA・OPのまま強引に処理することもできます。その際には、こちらの原則を用います。

Principle Piece B-37

 3辺から内積を求める → 余弦定理そのもの

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.9)

APの長さやAQの長さを一時的に使うことになりますが、例えば余弦定理の式により AP^2=|OP-OA|^2  だとみなせば、OA・OPは出せます。同様にOA・OQも出せます。この2つを足すと、AP^2+AQ^2という式が現れますが、条件からこれはPQ^2となりますので、これで進めます。

※KATSUYAの解いた感想
ベクトルで円出すと正答率下がる傾向にあるが、これはどんな感じかな。円が絡むというよりは、文字が多い。問題文がベクトル表記な分、まだ親切。(1)はとりえあず始点を合わせて計算。OP・OAとOQ・OAはこれ以上できないので、条件式をいじって消去。(2)はほぼ同じ計算で、p・qの系数を0にするようなものを選んで終了。解答時間17分。

 

☆第3問・・・【確率+数列】確率と漸化式、四面体の頂点移動(B、20分、Lv.2)

旧7帝大の理系であれば結構好きな題材の確率と漸化式ですが、北大文系では出題が珍しいので、差がついたかもしれません。

確率と漸化式については、こちらの3点セットが原則です。私のエントリーをご覧の方は、飽きるぐらい見ていると思います。

まずは、n秒後からn+1秒後の様子を詳しく調べることです。遷移図を書くといいでしょう。

 

Principle Piece A-41

 n回目とn+1回目を詳しく見る

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43)

また、問題にされているのは点Aですが、その他にもB,C,Dに止まる確率もありますので、これらも設定するといいでしょう。

Principle Piece A-42

 必要のない部分もqnなどと置いてみる

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43)

また、最初にAにいることで、B,C,Dの確率は明らかに対称であることなども利用すると、文字が減らせます。

Principle Piece A-43

 対称性などで文字は減らす 足すと1になることも忘れずに

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43)

なお、今回はAか「A以外」で分けてしまえば、2つの状態遷移だけで記述できます。A以外からAに戻る場合はa/3、AからAにもどる場合は1-aですね。慣れればこのような置き方も出来るようになりますが、最初のうちは点ごとにおいてみましょう。

出来た漸化式は4型漸化式なので、特性方程式を作って終わりです。

 

Principle Piece B-12

 漸化式(4型) 特性方程式を用いて等比型に

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.33)

※KATSUYAの解いた感想
おお、確率と漸化式か。理系は確か数直線移動やったな。文系入れ替えればいいのに。四面体の移動は簡単な方なので詰まることなく終了。 解答時間6分。

 

第4問・・・【微積分総合】積分式を含む等式、極大値を取る条件(B、20分、Lv.1)

最後は微積分からです。接線や面積などは聞かれず、数式主体の問題です。

(1)は変な聞き方ですが、ようはこちらの原則をつかってくれということです。

Principle Piece II-114

 定積分は定数 =kとおいてからk=・・・を再び解く

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分  pp.15-16)


f(0)というのは、定積分部分のことですので、これを=kとでもおいておけば、f(x)の式が一旦表せます。そこで、再びk=・・・として、今度は右辺を積分して方程式をとけばOK。

(2)は微分するので、実は(1)は全く関係ありません。極値条件は、f’(x)=0の解条件と結びつきます。

Principle Piece II-97

 3次関数の極値条件 → 2次方程式の解の条件

(拙著シリーズ(白) 数学II 微分  pp.20)

したがっ、2次関数の問題に帰着できるということです。極大値があるということは、異なる2つの解をもちます。うち、小さい方で極大です。結局、x>1の範囲で異なる2解を持つ条件と読み替えれますね^^

Principle Piece I-32

 2次方程式の解の存在範囲の条件式を体系的に把握

(拙著シリーズ(白) 数学I 2次関数  p.44 (詳細は割愛))


※KATSUYAの解いた感想
微積分総合かな。(1)はf(0)を表せf(0)って・・・その定積分のところやな。じゃあもう置き換えずにこのまま方程式つくればいいか。 (2)は極値条件やから微分。(1)の答え、関係なくなるねんな^^; 極大値がx>1なら、2解ともx>1で原則に従い終了。解答時間8分。

 

4.対策

微積分、数列、ベクトルを中心に、Bレベルの問題を演習しましょう。融合問題は出ますが、考え込むような問題はありませんので、あまり難しいものにこだわらず、効率的な演習をしましょう。

チャートは青チャートまたは黄チャートでも大丈夫でしょう。その後、入試基礎演習レベルまで一通り行った後は、過去問に接続しましょう。

 

量をこなす演習:じっくり演習=10:0でOK。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学Ⅰ 2次関数 (第4問)

★ 数学A 整数 (第1問)

★ 数学A 確率 (第3問) (確率と漸化式は、こちらに網羅的に収録されています)

★ 数学II 微分 (第4問)

★ 数学II 積分 (第4問)

★ 数学B ベクトル (第2問)

★ 数学B 数列 (第3問)

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