【後期】東北大学 理系| 2018年度大学入試数学
2018/03/22
●２０１８年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)【後期】です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾
後期の大学のうち、数学のある大学について評価を書いていきます＾＾
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２０１８年大学入試（国公立）シリーズ。
東北大学(理系)【後期】です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
東北大学（理系）【後期】
（試験時間150分、６問、記述式）
１．全体総評～誘導が丁寧で手をつけやすいセットに～
昨年よりやや易化しました。数学IIIからは積分に加えて、極限が絡む問題が3問ありましたが、基本的にはバ数学Bはベクトルと数列が両方、あとは数IIと数Aということで、基本的にはバランスが取れています。も最後は難しいですが、親切な誘導のある問題も多く、点数に結びつきやすいセットです。
試験時間150分に対し、
標準回答時間は145分。昨年と同じですね。
2017年：160分
2016年：160分
2015年：165分
2014年：180分
２．合格ライン
1番は誘導というか小問も多く稼ぎやすい。全部おさえたい。
2番も誘導があるので、（１）で意図を見抜いて場合分けできるか。（２）は（１）を利用できるのでおさえたい。
３番は（１）（２）は行けるはず。（３）はキー問題です。
４番もキー問題。２つ飛びの規則を見抜けるか。
５番は簡単なベクトルの計算でおさえたい。
６番は最初の定積分がある程度いじれないと、全体的にかなり厳しい。
６５％ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
第１問・・・【数列＋積分(II)＋極限】格子点の数と面積、極限（B,20分、Lv.2）
格子点の数と面積の比の極限を求める問題で、東北大にしては基本的な問題です。
（１）は周りだけです。x軸上、y軸上、放物線上で数えましょう。頂点のかぶりに注意。
（２）は（１）と別に、Σで計算すればいいでしょう。（３）の面積はちゃっちゃと出して極限もおまけです。
まずは点数あげます、という問題でしょうかね。
※KATSUYAの解答時間７分。詰まることなく終了しました。
第２問・・・【図形＋三角関数】図形上にできる2つの三角形の面積の和の最大値（B、20分、Lv.２）
円周上に５点をおき、１点だけ場所を動かしたときの三角形の面積の最大値を求めます。（１）がないと、自分で（１）を思いついて証明する必要があるのでCレベルです。
（１）の意図が見抜けたでしょうか。PQRの外心（円の中心）Oが三角形の外にある場合と中にある場合で立式が変わりますが、変形すると結局同じということです。
（２）は（１）を利用します。聞かれている∠AOX＝θとでもおいて面積をθで表せばOK。加法定理の部分は展開すればsin、cosの１次になりますので、合成を睨んで展開するのが自然な発想です。
（拙著シリーズ(白) 数学II 三角関数 p.44-45）
が、結局cosはなくなり、合成すら必要ないですね。
※KATSUYAの解答時間13分。
☆第３問・・・【確率】サイコロと確率（B、20分、Lv.２）
サイコロの目に従って特定の板の白黒を変える問題です。
（１）と（２）はどんな目が出ればいいのか、すぐに分かります。
（３）がなかなか難しいです。｛２、５｝または｛１、３、４、６｝で図のような状態になりますので、｛２、５、●、●｝か｛１、３、４、６｝で場合分けするのが良かったと思います。●が２、５のときは総数が変わるので注意。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間８分。（３）が意外と早く見抜けたので、安心。差がつきそうですね。
☆第４問・・・【数列＋極限】特殊な漸化式と極限（B、25分、Lv.２）
旧分野的には1番と丸かぶりに見えますが、内容的には別。今回は漸化式です。パターンではなく、偶数と奇数でルールが変わるパターンです。
このような場合は、奇数から次の奇数（または偶数から次の偶数）の漸化式を作ります。そうすればルールを両方使うことになりますので、常に同じなわけです。これに気づけば、（１）～（３）は全て一気に解決です。
なお、途中で絶対値をはずすためにー１以上が欲しいところですが、式からみてー１以上も言えるので、ほぼ同時に外すことができます。
偶数か奇数、どっちかを調べられたら、もう片方は漸化式で１つずらせばOKです。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間９分。なんか今年は奇偶で分かれるタイプの漸化式が多い。パターン問題じゃ解けますからね。
第５問・・・【空間ベクトル】正四面体内部にある点と４頂点との距離の最大・最小（B、20分、Lv.２）
基本的な空間ベクトルの問題です。点Oがわざわざ与えられているのはちょっと意地悪ですが、正四面体ですから、４頂点のどこかを始点にとって３ベクトルを基本にすべきです。この作業だけで本問は解決します。苦手だと意外とキツイ？
（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.63）
AB,AC,ADを基本ベクトルとして、A基点にしていけばOKです。内積は全部１／２、長さは１です。これを利用すれば、内積の展開もそんなに苦にはならないはず。
（２）も楽勝です。APベクトル＝ｐ とおいて、｜ｐ→｜について準平方完成をすることになります。結局GPベクトルが最大・最小のときにLも最大・最小になるとわかります。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間８分。なんかただの計算問題な感じ。東北大にしては簡単。
☆第６問・・・【定積分と極限】ｎ乗絡みの定積分（C、35分、Lv.２）
定積分と漸化式絡みですが、少し変形しづらい形をしているため、詰んでしまった人も多いかと思います。
2^nが前に出ていますが、被積分関数にも(logｘ)^nがありますので、合わせて(2log x)^n として、これで置換積分するとかなり見やすくなります。積分区間に√ｅが入っていることからも、この変換を思いつくヒントになっています。
（１）は、上記変形をすると、e^t が式に入っていきます。積分区間が０~１になっているので、１≦e^t≦e で評価して積分し、題意の式を得ます。
（２）は漸化式を作るので、部分積分しましょう。
（拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.56-60）
（３）は（２）の漸化式を用いたくなりますが、ｐｎの漸化式はあまり使える形をしていません。実はa_n=p_n・e+q_n を使います。（１）の結果を（２）で用いないということは、（３）で用いるはずです。（３）の極限、（１）の不等式を見ても、挟み撃ちの臭いがしますので、こちらの利用にうつりたいです。
anの方は挟み撃ちで０と分かります。残りはｑｎですが、ｑｎの漸化式は変形すると定数列が見えます。
（拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.37-38）
掛け算ばかりのときはうまく変形すると、ｎがずれた定数列型に出来ることが多いです。求めたい極限の形から、ｎ！で割って（ー１）^n をかけることは難しくないですね。これでｑｎも極限が出せ、そのまま求めたい極限にほぼ直結します。ｑ１の計算に定積分の計算は必要です。道のりは長いですね。。。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間25分。最初の式変形にも結構思いつくのに時間がかかった。（２）はすぐ分かる。（３）はｐｎの漸化式がいじれなかったので詰みかけましたが、上記の流れでたどり着けました。
４．対策
基本的には前期と同じです。前期のエントリーをご覧下さい。前期よりは難しい問題が多い傾向にありますが、構成や問題の特徴はほとんど変わりません。
量をこなす演習：じっくり演習＝６：４ぐらいでしょう。
以上です＾＾
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学A 確率 (第３問)
★ 数学II 三角関数 (第２問)
★ 数学B ベクトル (第５問)
★ 数学B 数列 (第１問、第４問)
★ 数学III 極限 (第１問、第４問、第６問)
★ 数学III 積分法 (第６問)
