東北大学 文系 | 2019年大学入試数学

   

●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2019年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

2019年大学入試(国公立)シリーズ。
東北大学(文系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





東北大学(文系)
(試験時間100分、4問、記述式)

1.全体総評~手を付けにくい問題が多く難化~

昨年がかなり穏やかだったのもありますが、今年は難化しました。理系との共通問題も文系だと差は付きそうな問題で、後半を中心に定番からレベルアップしたものが多いですが、これで適量、かつ例年並みだと思います。


試験時間100分に対し、
標準回答時間は95分。

2018年:80分

2017年:110分

2016年:85分

2015年:100分

2014年:110分

2013年:90分

2012年:105分

2011年:90分

2010年:125分

2.合格ライン

第1問は簡単めの2次関数なのでおさえたいです。

第2問~第4問は全てキー問題。 経験がないと詰まりやすい第3問や文字多めの第2、4問などは差がつきやすい。

 

第1問は確保。第2問~第4問のうち1つを完答し、残りも部分点を狙っていきたい。65%ぐらいあれば安心できそう。

3.各問の難易度

第1問 【2次関数+複素数と方程式】2次関数と直線の交点(B,15分、Lv.2)

2次関数と直線の交点を題材とした問題。最初は簡単めです。

2次関数、直線、そして交点に文字が入っていますが、落ち着いて式にしていきましょう。3文字なので、3つ立てれば行けるはずです。1つは問題文にありますので、ただちにcは消せます。

ここから、放物線と直線の交点のx座標がb,b^2と分かります。一方の解が他方の解の平方であると言っているだけですので、解情報の問題のタイプになります。解と係数の関係利用ですね。(Principle Piece II-20  数学II 複素数と方程式  p.21)  これで式は2つできます。aを消去するのが早いでしょう。

※KATSUYAの感想:解答時間4分。文字3つやから式3ついるな。1つはあるわ^^; あと2つ。交点あるから、そのまま解情報なので、解と係数の関係やな。これは簡単

第2問 【対数関数+2次関数】対数不等式を満たす整数の存在条件(B、25分、Lv.2)

理系の第2問と共通問題です。詳しくは理系のエントリーをご覧ください。

☆第3問 【数列+対数関数】漸化式の一般項(B、25分、Lv.2)

漸化式からの出題です。見てすぐに対数を取るパターンだと理解できますが、よけいな尻尾が付いてくるので、これを対処できたかどうか(Principle Piece B-22  数学B 数列  p.48-49)

(1)は対数を取るための準備ととらえましょう。各項が正でないと対数取れません。証明は帰納法です。思いつきますよね。(Principle Piece B-23  数学B 数列  p.50-57)

(2)は上記原則の通り対数を取ります。2を底にとるのがいいでしょう。3項間漸化式にはなりますが、余計な尻尾が付いてきます。このような場合は、nを一つずらして引き算する(階差に関する漸化式をつくる)と簡単に消えます。今回は特性方程式が1で重解なので、階差数列の階差が定数列のため、その前の階差が等差数列だと分かります。

あとは一般項log_2 an=bn anに戻します。2^log_2 3=3になるのは大丈夫ですよね。(Principle Piece II-85  数学II 指数関数・対数関数  p.16-17)

シンプルな問題ではあるのですが、定番プラスαのテクニックが随所で必要なため、演習量で差がでそうです。

 

※KATSUYAの解答時間6分。対数とるタイプね。(1)はさくっと帰納法で。(2)は対数とって3項間へ。尻尾の1の対処を・・・ん?そもそも係数的に階差が等差数列確定なので、一般項を出して戻す。ある程度演習していないと簡単に感じれないタイプ。文系だと結構正答率低そう。

☆第4問 【確率】試行後の金貨の枚数と確率(BC、30分、Lv.2)

裏を向いた金貨だけを銀貨に変えていき、何枚金貨が残っているかを考える問題です。文字が多く、考えにくいかもしれませんが、(2)までは見かけ倒しです。

(1)は簡単です。1回でj枚の金貨が表を向けばOK。確率なので同じものでも区別します。nCjは忘れないように。(Principle Piece A-26  数学A 確率  p.5-6)

(2)でいきなり一般を聞かれるので、ここで一気に考えを一般化する必要があります。残っているj枚は、k回とも表が出なければいけませんので、(1)と同じ要領で考えられます。残りのn-j枚については、k回のうち少なくとも1回裏が出れば、もう銀貨に変わっていますから、あとは何が出てもOKなわけです。「少なくとも」なので余事象ですね。(Principle Piece A-9  数学A 集合と場合の数  p.24)

(3)は数字が具体的で、かつ小さいので、むしろ(2)より考えやすいかもです。(2)を利用してほしいのでしょうが、(3)単独で考えても出来ると思います。2回の試行で金貨が3,2,1枚残っている場合を考えればOK。なお、(2)を利用して最も簡単に解くなら、P3(0)-P2(0)で計算できます。

※KATSUYAの感想:解答時間19分。(2)は意外と考え込みました。分かってみると単純なだけに、良問ですね。(3)は私も地道に数えています。数字小さいし、いいかと。別解はあとから気づきました。

4.対策

出題分野に大きな偏りはありませんが、微積は図形と式と融合させて出やすいです。その他、確率や2次関数をベースに他の分野が融合されます。(今年は図形も微積も出ませんでしたが)

Bレベルを中心に、Cレベルの問題も出てきたらじっくり考えてみる、ぐらいでいいです。Cだけを意識してやる必要はないでしょう。

Bレベルの問題は、入試標準レベルの演習をしておけばOKでしょう。難しい問題よりも、このレベルの問題を数多くこなすほうがいいでしょう。

 

量をこなす演習:じっくり演習=8:2ぐらいです。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学Ⅰ 2次関数 (第1、2問)

★ 数学A 確率 (第4問)

★ 数学II 指数関数・対数関数 (第2、3問)

★ 数学B 数列 (第3問)

 

今年は少し偏っていますね。

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