【後期】神戸大学理系| 2019年度大学入試数学

2019/03/16

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は神戸大学(理系)【後期】です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾

２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１９年大学入試（国公立）シリーズ。
神戸大学(理系)【後期】です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

神戸大学(理系)【後期】
（試験時間120分、５問、記述式）

１．全体総評～融合問題が多く全体的に質は高め～

難易度は昨年並です。今年は数IIIからの出題が２題と、昨年（4問）に比べると押さえられていますが、それでも全体的に質量ともに担保されている問題が多く、難易度としては昨年と同じぐらいです。

試験時間120分に対し、
標準回答時間は145分。

2018年：150分

2017年：145分

2016年：130分
2015年：135分

２．合格ライン

１番は誘導もあるので、全体のセットを考えるとコツコツ計算しておさえたい。
２番はキー問題。（３）で取れれば確保出来る。（１）（２）の意味を読み取れるか。
３番もキー問題。分かればどうってことなはいが、芋づる式なので（２）が出来ないと全滅に近い。
４番、5番は難易度が高めで、合わせて１完出来るかどうか。

１番は確保し、２番、3番を両方しっかり押さえられれば、4番と5番でそこまで出来なくても大丈夫かと。キー問題で躓くと、4番と5番で巻きかえす必要あり。60％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問　【三角関数＋整数】tan(α＋β)が整数になる条件（B,20分、Lv２）

三角関数に整数を絡めた融合問題。ｔａｎα、ｔａｎβが整数になるとしたときに、ｔａｎ(α＋β)が整数になる条件についてです。三角形の角Ａ，Ｂ，Ｃがのｔａｎが全て整数になるとしたら、、、といった問題の類題で、見たこともあるかと思います。誘導もあるので、ここはおさえて波に乗りたいところです。

（１）は加法定理です。（２）は、ｍは1以上、ｎは２以上（√３より大）なので、ここからαとβの角度がもう少し狭められますね。

（３）は、ｔａｎ（α＋β）の取りうる値が、（２）から分かります。とるとすればー３、－２、－１しかないので、あとは整数解を求めるだけです。「因数分解＝定数」の形に持っていきましょう。(Principle Piece A-65 数学Ａ整数 p.45)

ｍｎの係数が１でないときは、ｍｎについている係数をもう一度かけるとうまくいきます。(Principle Piece A-66 数学Ａ整数 p.46)　ｔａｎ（α＋β）＝－２のときを例に示しておきます。

加法定理で整理すると　2mn-m-n-2=0

係数２をかけて　4mn-2m-2n-4=0　　(2m-1)(2n-1)＝５　１×５　しかないので、ｍ＝１，ｎ＝３　

こんな感じですね。

※KATSUYAの感想：解答時間10分。誘導なしだとかなり難易度が高いけど、あるならいける。

☆第２問　【積分法の応用】回転体の体積（B、25分、Lv.２）

楕円を斜めにしたようなグラフを回転させる問題です。（１）（２）の誘導によって解きやすくなってはいますが、意図が読み取れないと（３）から詰まるかもです。

（１）、（２）は両辺を2乗してもいいですが、ｘの範囲等に注意する必要があります。グラフで考える方が分かりやすいかと思います。（１）であれば、ｙ＝ｘとｙ＝√１－ｘ＾２　を比較し、ｙ＝ｘが上部にある範囲を求めます。

（３）は、回転体の切り口の面積を求めますが「回転体の切り口」＝「切り口の回転体」です。ｘ軸に垂直な線分を回転させたものなので、ｘ、ｙの２次式をｙについて解くことになります。ここで（１）（２）の形が出てきます。上側がｙ≧０にある範囲、下側がｙ≧０にある範囲に分けることで、断面積を求めることが出来ます。

（３）は（２）を積分するだけです。

※KATSUYAの解答時間12分。あんまり見ないけど、上と下に関数を分ける問題としてはパターンかな。誘導が読み取れれば解きやすい。

☆第３問　【確率＋数列】反復試行と確率の比、和の計算（B、25分、Lv.２）

ルールはちょこっとだけ複雑な確率の問題で、数列がからんでいます。条件を満たすくじの引き方が正確に把握できれば最後まで解けるとは思いますが、間違えると全滅なのでこちらも差がつく問題化と思われます。

（１）はあたりを４回以上ひいておらず、かつはずれを3回引いてゲームが終わる必要があります。また、最後がはずれでないとダメなことに注意しましょう。「３勝2敗でＡが優勝する→５回目はＡが勝つ」と考えるのと同じです。最後の１つ手前まで反復試行で求めましょう。(Principle Piece A-35 数学Ａ確率 p.22)

（２）ｎ点になるには、ｎ＋３回のあたりが出て、はずれが３回でればＯＫです。（Ｎの範囲が親切で、合計回数がこれでＮ回を超えることはありません）同様にはずれが３回でることでゲームは終わるので、最後はやはりはずれになります。

（３）は確率の最大値を求める問題と似ており、比をとることでごそっと式を約分します。(Principle Piece A-38 数学Ａ確率 p.27)　今回は最大値ではなく、それが１４／１５以下になることの証明です。

微分して単調減少を示し、ａ２／ａ１以下になるとしてもＯＫですし、ａ２／ａ１が１４／１５になることから、差をとれば（ｎ－１）が因数として出てくると予想できれば、差を取る方が早いかもですね。

（４）は（３）を利用するだけです。公比１４／１５の等比数列の和より小さくなるとすればＯＫ。

※KATSUYAの解答時間24分。（１）は意外と場合分け多め。最後がはずれになることを忘れ、足したら１超えたのでやり直し。（２）はｎ≦Ｎ－６なので親切。（３）は約分パターンね。私は微分しましたが、差をとったほうがはやかったか。（４）は（３）利用で終了。　（１）のミスでロスした。一番時間をとられた＾＾；

☆第４問　【微積分(数式)＋極限】定積分方程式、不等式の証明、極限（BC、30分、Lv.２）

２つの関数の関係式から、ｆ（ｘ）に関する不等式を導き、極限を求める問題。適度に融合されており、計算量も比較的あるので、後期らしいレベルになっています。

（１）は意外と難しいか。とりあえず上の式は上端にｘが入っているので、ｘで微分してみようと思いたいところです。(Principle Piece II-116 数学II 積分 p.23)　　右辺ｇ（ｘ）の積分だけが残ります。　（ｘ－ｔ）ｇ（ｔ）の積分は、２回行うとｇ（ｘ）になるのは有名ですので、やはり微分を真っ先にするべきでしょう。

微分した式にｘ＝１を代入すると、左辺にも右辺にもｆ’（１）が現われますので、その方程式を解くことになります。右辺のｇ（ｘ）の積分は、下の式を使ってコツコツやるだけです。うまく設定していますね。

（２）は不等式の証明なので、差をとって微分する流れです。三角や指数と整式が混じる場合は、１回の微分では分からないことが多いので、2回、3回と微分すると様子が見えます。(Principle Piece III-38 数学III 微分法の応用 p.41-42)　　

微分したものが正→単調増加→その前の式も正→単調増加・・・・の、お決まりのパターンです。3回ぐらい微分して、かつうまく項をよせないと正だと分からないので、このあたりもうまく捻ってあります。

（４）は（３）を受け入れれば出来ます。はさみうちは丸見えですね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間18分。いつも思うけど、神戸大は融合の仕方がうまい。（１）も（２）も、普段通りのことをやる＋ひとひねりいれてくる当たりがいい感じに差をつけそうな問題。