同志社大学 理工学部 | 2020年大学入試数学

   

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(理工学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。


２０２０年大学入試（私大）シリーズ。

同志社大学(理工学部)です。



問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。



同志社大学（理工学部）
（試験時間100分、4問、ハイブリッド型）

１．全体総評～全問に数IIIが絡むが良問セット～

難易度は昨年並みです。2019，2018年は数IIIが少し割合が減りましたが、今年は全問に数IIIが絡むセットのため、少し時間はかかりそうですが、同志社理工としてはわりと普通です。

また、同志社理工の問題はよく練られた創作問題が多いですが、今回も良問セットと言えます。典型的な操作を要求しつつも、非常にうまい設定になっています。試験場でどこまでくらいつけたか。





試験時間100分に対し、
標準回答時間は133分【122分】（←穴埋め考慮）

2019年：125分【113分】（←穴埋め考慮）

2018年：101分【89分】（←穴埋め考慮）

2017年：142分【128分】（←穴埋め考慮）

2016年：112分【101分】（←穴埋め考慮）

2015年：130分【110分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン

第１問の10個の穴埋めで、ここがキー問題かと。穴埋めの割りに計算量が多く、どこまで合わせることが出来るか。時間はかかりそうだが、理想は8個、半分以下だと差を付けられそう。。

第２問は本セットでは取らないと厳しい。こちらも計算量多めだが、周期性などでうまく積分計算の時間を短縮したい。

第３問も誘導はある程度丁寧なので、（５）までは行けそう。（６）は演習量で差がつく。

第４問はキー問題。残り時間との相談にもなると思いますが、（２）でPの座標がθと結びつくかどうか。出ても（３）（４）あたりは計算量が比較的膨らむ。（２）までできればOKかと。

 

第２問と第３問は計算力があれば8割答案は可能。第４問は（２）が出来ないとそれ以降手がつかないので、第１問でなるべく稼いでおきたい。時間との勝負だが、60~65％ぐらいが勝負かと。

 

３．各問の難易度

☆第１問（１）・・・【確率＋数列+積分(III)】（B、18分【12分】、Lv.2）

確率をじゃっかん無理やり合わせた区分求積の問題です。

最初の３つはいいでしょう。ただの反復試行です。１回あたりの白、黒の確率を整理しておきましょう。5^4=625ぐらいは、本学受験者であれば暗記しておいてほしい数値。

「エ」はΣ計算ですが、まともに足すしかありません。ｋの５乗の和なんて知らないし、５つしかないですしね。最後は区分求積です。求める積分はベータ関数なので、準公式として知っていれば計算は不要。知らないとちょっと計算必要です。

「エ」「オ」を両方合わせれればまずは安心できそう。

 

 

第１問（２）・・・【微積分総合】媒介変数曲線の自己交差点、接線、弧長（B、15分【10分】、Lv.２）

媒介変数で表された曲線上の点の接線や交点、弧長などを聞いてきます。こちらもちょこまかちょこまか聞いてきますが、計算力との勝負です。

最初はｙ＝０を解けばOK。次は接線なので、dy/dxの式にｔの値を代入しましょう。

「ク」「ケ」は素直に連立方程式を解けばOK。多項式でf(ａ)＝f(ｂ)のような形がある場合、整理すればａ－ｂが例外なく因数に表れます。このことを念頭に整理し、「t1≠t2」も利用して連立しましょう。

ここまで合えば最後の弧長も合わせれれるハズ。

2つで終わるか、5つとも正解できるかが意外と分かれそうですね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間計14分。（１）は「エ」の値が汚いが、「オ」と近いので合っているだろうと判断し、見直しせず。（２）はただの計算で上記のとおり計算して終了。

☆第２問・・・【微積分総合】増減表、最小値、面積、体積（B、25分、Lv.２）

第１問（２）に引き続き、微積分総合ですが、こちらは発想的な要素は一切なく、言われた通りに正確に計算するだけです。（ただしうまく計算しないと膨れます）本セットを考えたら、ここで合わせたいところ。

（１）（２）は微分して増減表を書くだけです。ｘ＝３／２πで最小となりますね。

（３）は面積です。面積で大切なのは上下関係と交点。今回は最小値が１／２と正なので、グラフはｘ軸の上側にあります。積分計算はうまくやりましょう。０~２πまでの積分区間であれば、sinｘ。sin２ｘ・・・・などの積分はグラフを書けばすぐに分かりますが、ゼロです。

（４）は回転体の体積なのでさらに次数が上がりますが、その式変形さえ落ち着いて行えば、定積分がゼロになる部分を見極め、それ以外だけ残して計算するだけです。

※ＫＡＴＳＵＹＡは14分で解答しています。こちらも最後の値が汚いので（４）の式変形だけ見直す。うーん、ミスも特にないと思うので、たぶん大丈夫かと。

☆第３問・・・【微積分総合＋極限】不等式の証明、極限、定積分漸化式など（C、35分、Lv.２）

第３問は数式系の微積分総合。今年は微積分ばっかりですね。式自体はよく見かける式で、指数関数を多項式展開した場合の式です。演習経験がないとすんなりとは行きにくいですが、本学受験者なら大丈夫かと。

難易度は「C」としていますが、(5)までなら「B」でもいいと思います。

最初は利用する式も書いてありますので、微分しましょう。多項式部分は、微分すると最後の項だけ失われることがポイント。

（２）も利用する式が書いてありますので、うまくハサミウチを利用しましょう。Mは仮にどんなに大きくても定数であることがポイントです。

（３）はただの計算です。（４）は定積分の漸化式を導きます。原則通り、部分積分で出来ますね。

（５）は（３）と（４）から、階差数列型の漸化式として求めることが出来ます。

（６）は少し難しいでしょう。En(x)の方を見ることになると思いますが、これを何ではさむかです。e^tの部分をe^x0に変えると、定数に変わるので積分の外に出せます。これに気づけば、（２）の利用にも気づけます。

※KATSUYAは16分で解答しています。（４）必要ですかね？「ｔ＝－１~ｔ＝１における弧長を求めよ」でいいのでは？

☆第４問・・・【式と曲線】双曲線の点の媒介変数表示、条件を満たす点の軌跡や弧の長さ（C、40分、Lv.3）

最後も数III絡みで、受験生の演習量が少なくなりがちな式と曲線から。双曲線上の点が題材です。こちらも計算がかなり多めで、三角関数の処理に慣れていないと（１）で止まってしまうかもしれません。

（１）はただの計算ですので大丈夫でしょう。なお、tanθ＝√２－１となるθ=22.5°（π/8）となります。

（２）、曲線上の点（ｓ、ｔ）とでもおき、t^2-s^2=1　を満たしつつ、ｓとｔの関係をθで結びつける必要があります。ｓ＝（ｔ＋１）tanθ　になることに気づけばもう少し進みます。

ｔ＝１＋(tanθ)^2/1-(tanθ)^2　となります。ここで分子分母に(cosθ)^2を掛けると、分子は１、分母は倍角でcos2θとなります。この当たりの処理は演習量がものをいいそうです。

cos2θやsin2θはtanθで表せます。このことは暗記レベルで知っておいて損はないでしょう（青チャート数IIであれば例題に載っているはずです。）

ｓの方はｔが出れば出ます。こちらはtan２θの式のそのままですね。

※双曲線の媒介変数表示は一般的にx=a・tanθ、ｙ＝b/cosθ　となりますが、このθ（正確にはこの半分の角）がどこの角なのか、視覚的にわかったことになります。

（３）もまだまだ計算が続きます。比の情報からRの座標をｓ、ｔとｒで表しつつ、QR=QPを立ててｒ＝・・・に直します。ｓ、ｔを三角関数に直すタイミングによっては、かなり計算が煩雑になりますので、こちらも計算力がものを言う問題です。

（４）はRの座標を求めれば分かりますが、かなりシンプルで円周上の点であることは明らかです。なお、「軌跡の方程式」と言われている場合は、範囲までは必要ないと思います。一般的には「軌跡を求めよ」と聞かれたら、どんな方程式のうちのどの部分かを述べます。

座標ですが、ｘ座標とｙ座標が（cosとsinが）入れ替わっているので、π／２－２θなどにして戻すと、動き方も分かりやすいです。

なお、（３）（４）は図形的アプローチで一気に解決可能です。こんな感じです。

∠SPQ＝90°ーθ、QP=QRより∠QRP=90°ーθなので∠RQP=２θ

すると∠OQR=90°ー2θ

また、QR=QP=sin2θ/cos２θ　だから、

OQcos∠OQR=OQcos(90°-2θ)=OQsin2θ＝QR　となる。

以上から、OQRは∠R=90°の直角三角形なので∠ORS＝θだからORSは二等辺三角形で、OR＝１→（４）へ

また、RS=２cosθ、PR=２QPcos(90°-θ)　でPR:PSを計算すると１－cos2θ：cos２θとなる。→（３）

※KATSUYAは30分で終了。（３）で結構考えて、結局上記のように図形でアプローチしましたが、結果的には式で処理したほうが速かったかもです。双曲線の媒介変数の角度が視覚的に見えるのは興味深いな。

 

４．対策～IIIの対策＋計算力UPをしっかりと～

今年は少なかったですが、例年はIIIの割合が非常に高いセットです。III以外では、数B（特に空間ベクトル）が頻出です。IIIの勉強はもちろんのこと、最初の穴埋めも簡単ではないので、典型パターンを繰り返し頭に叩き込んでおく必要があります。

IAIIB、IIIともに、高３の夏以降は入試標準レベルによる演習に入れるような体制を作る必要がありそうです。従って、それまでには青チャートや１対１対応などの演習を終えたいところです。今年は割と穏やかな方で、計算が地獄のときもありますので、計算練習はしっかりと。

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいですね。

以上です＾＾

 

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