東北大学理系 | 2020年大学入試数学

2020/03/06

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０２０年大学入試シリーズ（国公立）シリーズ。
東北大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

東北大学（理系）
（試験時間150分、６問、記述式）

１．全体総評～比較的手がつけやすいセット～

昨年からは大きく易化しました。前半は共通問題も含めて、手がつけやすい問題が並びます。後半の確率も（３）（４）が独立しており、パターン問題で手が付けやすいです。数学IIIはまた第５問、第６問の２題にもどりましたが、誘導も丁寧なので、全く手がつかないことはないでしょう。全体的には、点数を取りやすいセットだと思います。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は125分。

2019年：190分

2018年：185分

2017年：170分

2016年：135分

2015年：178分

2014年：185分

2013年：155分

2012年：170分

2011年：140分

2010年：200分

２．合格ライン

第１問は基本問題なので押さえたい。

第２問は文理共通だが、こちらも誘導は丁寧なので落ち着いて完答したい。

第３問の共通問題も難しくはないので、押さえたい。

第４問は（２）で数え落としがないようにできるかどうか。

数IIIの第５問、第６問はキー問題。しかしどちらも途中までは手がつくはずなので、合わせて１完ぐらいは取れそう。

普段の難易度を想定すると４完もありそうですので、６５％ぐらいは取れそうです。

３．各問の難易度

第１問　【三角比＋2次関数】辺の2乗和の最小値（AB,15分、Lv.1）

二等辺三角形に引いた垂線上の点について、2乗和の最小値を求める問題です。

（１）は3辺が分かっているので変形余弦でcosを、相互関係でsinです。

（２）は図を書けば、直角三角形ABHに（１）の結果を利用してAHとBH、CHを求められることが分かります。これで、たとえばAP^2=AH^2+HP^2などとしていけば、ｓの2次式になります。2次式なので平方完成で終わりですね＾＾

※KATSUYAの解答時間６分。1番だけあってそこまで難しくない。上記のとおりやって終了。理系・・・の問題よな？これ。

第２問　【図形と式】円と２直線の交点の和集合（B、25分、Lv.２）

円Cと２つの直線L、Mについて交点の個数を吟味する問題です。

（１）はLとMを連立して（ｘ、ｙ）＝（a,a）が出ますので、それがC上にある条件を求めます。

（２）はただのｄとｒの計算です。

（３）は（１）（２）の結果が使えることが分かります。（２）と同様にCとMについても条件を出します。共有点が3個になるときは、

CとL：1点、CとM：2点

CとL：２点、CとM：1点

さらに、（１）の結果から、CとL：2点、CとM：2点で、1点がダブるときも入るということです。

見落としがちですが、（１）がわざわざあるので、おそらく正答できるでしょう。

※KATSUYAの感想：解答時間１４分。（１）は代入して解くだけ。（２）があるから、先にｎで表しておいてもよかったか。解の存在範囲の話やから、ｘ＝ｎ　ｘ＝２ｎの符号を調べてみるか。符号が確定するので安心。なら１つずらして符号が同じなら満たすものが存在するな。同じ条件になるんか。ちょっと興味深い。

第３問　【数列＋整数】数学的帰納法、整数解（B、20分、Lv.2）

数学的帰納法で条件を絞り、方程式の整数解を求める問題。ある程度絞って解を出すという流れの問題です。致し方ないとは思いますが、誘導過多の印象があります。

（１）は帰納法でしょう。ｎに関する証明であることと、　示すべき結果が与えられている（推測できる）場合は帰納法です。

（２）（１）の結果から、成り立つとしたらｎ＝１，２しかありません。これは誘導過多な気がします。

（３）はan+ｂ≧０であることから、（２）のｎ＝１，２が必要です。それぞれについて、当てはまる（a,ｂ）の組を全て求めればOK。（１）さえ出来れば特にひねりもないので、これも押さえたいです。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間８分。（１）は帰納法で終了。（２）（１）の式と念のため見比べる。やっぱ不等号の向き以外一緒よな。ｎ＝１，２に決まってるのでは？確かめて終了。なんじゃこりゃ？（３）は（２）が成り立つから、ってことやな。（２）はさすがに誘導過多なのでは？整数解を求める問題としては、ちょっと拙いかな。

☆第４問　【確率】硬貨の表裏と袋の玉（B、25分、Lv.２）

袋の玉について、硬貨が表なら非復元抽出、裏なら復元抽出を行う問題。後半(3)(4)は独立で、確率の最大値に関するパターン問題です。

（１）は白かつ表が2回続けばＯＫ。非復元抽出なので２回目の分母・分子に注意。

（２）も慎重に数えましょう。3回行って手元に２個あるなら、裏１回、表２回です。裏ではどちらが出てもよく、表2回のところで赤と白が1個ずつ出ればＯＫ。

（３）（４）は確率の最大値の問題です。玉があるので分かりにくいですが、赤か白かは関係なく、ｎ回目に５回目の表が出ればOK。確率の最大値の問題は、pn+1／pnと１を比較するのが原則ですね＾＾

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間11分（１）は掛け算ひと式でいける。（２）は慎重に場合分けして計算。（３）は（４）を見て、いつものパターンと判断。赤か白かは関係ないな＾＾；実質独立しているので、全滅はしにくそう。

☆第５問　【複素数平面】複素数の式が描く軌跡（BC、20分、Lv.2）

－１／ｔ＋ｉが描く軌跡を求める問題。誘導が丁寧なので、ある程度の点数は稼げそうです。

（１）は共役複素数ｔ－ｉを掛ければＯＫです。

（２）も、絶対値の計算をするだけです。実部^2、虚部^2の和を取りましょう。かなりきれいになります。非常に丁寧な誘導です。

（３）は経験がないと難しいかもしれません。ｘ、ｙを別々に取りうる範囲を調べても、今回は正解の図が得られますが、一般的にはそれではうまくいきません。ｘ、ｙがどこを動くかは、同時に調べる必要があります。今回は、ｘ＝－ｔｙの関係があることから、原点を通る直線上にもありますので、あとはー１~１の範囲で、ｘ＝ーｔｙがどんな直線になるのかを考えるのが一番ラクと思います。

あるいは、（２）の実部、虚部の形を見て、ｔ＝tanθの形が思い浮かぶ人は、かなり勉強しています。この式変形により、ｘ＝ー1/2sin２θ、ｙ－1/2＝1/2cos２θとなるので、これでｘ、ｙの動く部分を特定することが出来ます。

非常にテクニカルな式変形ですが。特に媒介変数ｔの範囲に制限がある場合には、このθへの変形は動く場所を特定できるので、原則として覚えておくといいでしょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間12分。（１）は計算するだけ。（２）も実部、虚部を明らかにして計算するだけ。うん、よく見る式やし、円やな。（３）はtanθの置き換えを用いて終了。やっぱり制限ある時に、この置き換えはラク。

☆第６問　【積分法(数式)】三角関数の定積分と漸化式、（B、25分、Lv.2）

最後は本格的な数IIIの積分法から。ｍ、ｎの2文字が指数に絡む三角関数の定積分です。こちらも第５問と同様、題材自体は比較的高度ですが、誘導が多いので最後まで進みやすいですし、途中まで食らいつけば部分点稼ぎもできます。

（１）は東北大受験者であれば知っていると期待したいです。sin、cosの入れ替えについては、π/2－ｘ＝ｔの置き換えをすればOKですね。後半は単純に被積分関数の式を括ると、(sinx)^2+(cosx)^2=1が出ることで示せます。

（２）は（cosの式）sinｘｄｘの形なので、　なのでcosｘ＝ｔで置換すると、いわゆる第２置換積分となります。有理数になりますね（この結果を（４）で使います）

（３）ですが、教科書の発展コーナーなどにある、（sinx）^nの定積分の漸化式を作るときと似ています。もし分からない場合は、数IIIの教科書や問題集などで確認して下さい。定積分の漸化式を作る時は、部分積分が基本になることを忘れないようにしましょう。

（４）は、（１）の前半の結果（ｍ、ｎの入れ替え可能）から、ｎが奇数のときだけやればOK。ｎが奇数なら、（３）を次々に用いることで、A(m+n-1、１)まで持ってこれますので、有理数となります。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時144分。最後はがっつり数IIIの積分やな。sinとcosで、0~π/2なら例の積分の方法でいけそう。（１）の前半は原則通り。後半は足せば終わり。（２）もsin1個残るなら置換積分。（３）がメインかな。部分積分で漸化式を作る。意外と慎重にならないと計算ミスりそう。（４）は（３）と（２）を使えばいいか。入れ替え可能なことを断わって片方だけやって終了。こっちも誘導多いけど、まあこれは仕方ないかな。