関西学院大学全学日程(2/1)理系数学 |2023年度大学入試数学

2023/02/03 2024/01/05

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●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は関西学院大学(理系、２月１日実施)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。

2月に入り、本格的に２次試験シーズンがやってきました。お馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。

２０２３年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２３年大学入試（私大）シリーズ

関西学院大学(全学日程理系：2/1)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

本文にある緑字(この色)は、数学を受験する上で必要な原則を表しています。知らなかった場合は、言葉を覚えるだけでなく、必ず教科書や問題集等で該当する類題を数題見つけ、演習することで定着させてください。自分で探して自分で解く。これが一番身につきます。

★お知らせ★

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾　原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

Twitter始めました　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

関西学院大学（全学部日程：理系）（2月１日実施）
（試験時間９０分、４問、ハイブリッド型）

※ハイブリッド型・・・記述式と穴埋め式が混合しているもの。

１．全体総評～数IIIの割合も増え、計算量が大幅に増加し、難化～

難化です。第2問、第3問を中心に計算量が多く、第4問もいつも通り答案量は多いです。数IIIの割合も普段より高く、90分という制限時間ではかなり慌てたと思われます。ここ数年では最難でしょう。

分野的には第１問が小問10個、第２問が図形と式、第３問が微積総合、第４問は複素数平面と数列です。第４問に微積分が来ない変わりに、第3問の穴埋めに来たので数IIIの割合が多めです。

試験時間90分に対し、解答時間は125分【92分】（90分を超えるのはかなり厳しい・・・）

2022年　解答時間は98分【73分】(←穴埋め考慮)

2021年　解答時間は104分【83分】（←穴埋め考慮）

2020年　解答時間は97分【75分】（←穴埋め考慮）

2019年　解答時間は98分【76分】（←穴埋め考慮）

2018年　解答時間は101分【78分】（←穴埋め考慮）

2017年　解答時間は95分【69分】（←穴埋め考慮）

2016年　解答時間は89分【61分】（←穴埋め考慮）

2015年　解答時間は92分【63分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン～試験場では6割でまずまずか～

第１問の小問は全体のセットを考えると落とせない。８問以上は欲しい。

第２問の図形と式は後半の計算量が多い。「キ」「コ」はうまくやらないとコスパが悪いのでそれ以外で勝負したい。

第３問は微積分総合はキー問題。「カ」までは最低でも取りたいが、経験がないとキツイ。後半は計算力勝負。

第４問もキー問題。決して難しいわけではないが、今年は時間との兼ね合いで差がつきそう。

時間のかかりそうなものを捨てて、第4問を先に完答すると気持ち的にラクだったかもしれません。

３．各問の難易度

第１問（１）・・・【式と証明】恒等式、4次式の因数分解（A、5分【3分】、Lv.1）

4次式を因数分解する問題ですが、誘導に従ってa,bを出して2乗の差を作り出せばOK。「実数」の範囲で因数分解とありますが、2次式の解はともに虚数なので2次×2次でOK。

☆第１問（２）・・・【対数】対数方程式・不等式、最大・最小（AB、15分【9分】、Lv.１）

対数総合問題ですが、方程式、不等式、最小値を１つ１つ聞いてくるだけです。式も独立しています。

方程式と最小値は、まず底を合わせましょう。対数式は底の統一が最優先です。

Principle Piece

対数式の変形は「底の統一」が最優先

（詳細は拙著シリーズ数学II 指数関数・対数関数 p.24 参照）

方程式は足し算型なので１つにまとめます。

Principle Piece

対数の式１：足し算、引き算型は項を「まとめる」

（詳細は拙著シリーズ数学II 指数関数・対数関数 p.32 参照）

次の不等式は教科書レベル。不等号の向きには十分注意しましょう。

最後の最小値を求める式は、置き換え型。底を２に統一してlog(2)x＝ｔとでも置きましょう。

Principle Piece

対数の式２：かけ算・割り算型は項を「置き換える」

（詳細は拙著シリーズ数学II 指数関数・対数関数 p.32 参照）

第１問（３）・・・【確率+整数】2023と互いに素（AB、10分【6分】、Lv.１）

今年も年号問題出ました。2023までのカードを取り、7や17の倍数である確率を求める問題。

2023=7・17・17です。受験生はさすがに知識として持っているでしょう。2023が7の倍数なので、７で割り切れる確率はそのまま1/7。7と17の両方で割り切れる確率も1/7・17です。この辺は素早く解答したいです。

後半は意外とミスが起きる？片方で割り切れる確率なので、和事象からもう一回共通部分を引けばOK。

最後は「2023と互いに素」→「７でも１７でも割り切れない」と言い換えれば、余事象計算と分かります。こちらも典型的な原則ですね。

Principle Piece

「…も…も～ない」の表現→全体から引く

（詳細は拙著シリーズ数学A 集合と場合の数 p.3 参照）

なお、オイラー関数による裏ワザを使えば、最後は瞬殺出来ます。6/7×16/17です(拙著シリーズ数学A 集合と場合の数 p.4,5を参照)。

こちらの動画でも説明しています。オイラー関数は、検算する上でも非常に有用なのでぜひ知っておきましょう。

※KATSUYAの解答時間は計6:17です。

第２問・・・【図形と方程式】2直線に接する円、接線、三角形の外接円など（B、35分【24分】、Lv.2）

図形と式の総合問題です。後半を中心に計算量が多く、数値の関係で分数計算も多いため、苦戦した受験生が大半だと思われます。

最初は、ｙ軸にもy=－4/3ｘにも接する円を求めます。誘導に従い、中心からの距離が等しいとし、それが半径になると考えれば方程式を立てましょう。

Principle Piece

2直線に接する → 2直線から等距離の軌跡を出す

（詳細は拙著シリーズ数学II 図形と方程式 p.78 参照）

後半は、求めた円が内接円になるように、もう一本の接線を求めます。原則に従うなら、まず接点をおいて接線の式を作ります。

ULTIMATE Principle Piece

曲線外から引いた接線 → まず自分で接点をおく

（詳細は拙著シリーズ数学II 図形と方程式 p.38 参照）

点Aを通る直線をおいてｄ＝ｒを使っても出来ます。接点の座標まで考えると先に接線をおいた方がいいですが、計算はまあまあキツイです。私はｄ＝ｒで直線を出してから連立しました。

Ｂの座標は接線の式が出れば出ます。こちらはまあまあキレイです。面積は穴埋め数を10問にするためのおまけかと。Bの座標がわかるので、OAを底辺と見れば出せます。

最後の外接円の半径は結構キツイ。3辺の長さを出してcos→相互関係でsin→正弦定理が1つの方法ですが、長さをサクッと出せたかどうか。「カ」を出した時点で、8：15：17の比になる直角三角形が頭に浮かんでいれば3辺は比較的簡単に出ますが、それでも計算は繁雑。

直線ｌ、直線ABの傾きなどをうまく利用すると、sinAOB、sinOABなどが簡単に出せます。そこに気づけるとかなりラク(私は検算で気づきました)。

※(後述)面積はおまけではなく、三角比の面積公式で表すことでsinAOBを出すためにあると考えるのが自然かもしれません。気づきにくいとは思いますが・・・

※KATSUYAの解答時間は16:16です。思ったより数値が繁雑でかなり不安だが、検算もしておそらく正しい。

☆第３問・・・【微積分総合】減衰曲線の面積、回転体の体積（B、30分【20分】、Lv.2）

今年は確率がなくなり、数IIIの微積分総合になりました。題材はいわゆる減衰曲線の面積や体積に関する問題。第4問も数IIIだったため、今年のセットはかなりきつめです。

（１）の最初は微分するだけ。指数×三角の積分は、誘導にある通りペアのg(x)を持ち出して求める方法がいいでしょう。部分積分を2回しても出せますが、こちらの方が計算ミスも起きないのでラク。

さくっと答えたいですね。a<b<c=dなら、3種類の数字を選んで、小さいほうからa,b,c(=d)とすればOK。

（２）は（１）の結果を利用して積分をする問題。S1はそのまま代入して積分。このタイプのSnについては、S1から等比数列になることを知っていれば、穴埋めなのでS1の何倍になるかを計算するだけです。パイだけスライドすれば次のS2になるので、e^-2πが公比です。無限級数は初項、公比が分かれば瞬殺。

ちゃんと積分の式を立てる場合は、平行移動による置換積分で指数を積分の外に出しましょう。

(2)は。上のようにかなり時間が膨れる問題です。

(3)は2乗したものの積分。さらに繁雑ですが、右辺を慎重に微分して、左辺のf(x)^2と比べましょう。積分するので、三角関数は半角の公式などで次数を下げて角度を上げておくことは原則です。

(3)の猛攻に耐えれば(4)は積分するだけです。(2)まででいったん飛ばすのが現実的かもしれませんね。

※KATSUYAの解答時間は13:05です。減衰曲線で穴埋めなら説明いらんのでラク。それでも計算は多く、回転体までやるのはキツイ。