京都大学 理系 講評 | 2022年大学入試数学

      2022/05/31

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2022年 大学入試数学の評価を書いていきます。

2022年大学入試(国公立)シリーズ。
京都大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。


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京都大学(理系)
(試験時間150分、6問、記述式)

1.全体総評~小問がなくなった分、量的には適量か~

昨年比でやや易化です。昨年は第1問と第6問に小問がありましたが、今年はすべて大問1つになりました。その分難しくなったわけでもないので、量的に少し減って試験時間内に収まりそうな量になりました。例年で見るとかなり穏やかです。

分野的には数IIIが今年は少なめ。頻出分野の整数、確率、ベクトルは今年も健在です。

試験時間150分に対し、標準回答時間は150分。試験時間内におさまりそうなのは久しぶりですね。

2021年:167分

2020年:185分

2019年:185分

2018年:230分

2017年:170分

2016年:185分

2015年:195分

2014年:175分

2013年:140分

2012年:187分

2011年:135分

2010年:152分

2.合格ライン

第1問は文理共通で押さえたい。

第2問も出来れば押さえたいが、キー問題かと。

第3問は整数問題でキー問題でしょう。余りとかではなく、最大公約数であるところがポイント。

第4問は文理共通のベクトル。一本道なので計算を合わせたい。

第5問は全体のセットを考えるとキー問題か。京大理系受験者なら(2)までは行きたいところ。

第6問は何となく手が付きそうで、説明が難しい。結果の予想がつくなら分かるなら部分点狙いか。

文理共通を抑えて、キー問題で2完分ぐらい欲しい。医学部なら4完以上(140点ぐらい)が必須となりそう。

65%ぐらい(医学部以外)、75%ぐらい(医学部)ですかね。


3.各問の難易度

第1問【対数】対数値の評価(B,15分、Lv.2)

年号がらみで、log2022(底4)の値に関してです。難しい年なら小問になりそうな感じです。大問としては穏やかかと。

5.4と5.5の間にあるということですが、5.5の方は分数表記で分母が2になるのでラクです。

 

2022<4^(11/2)を示せばいいだけです。左辺は2の11乗=2048を知っていればほぼノー計算ですね。

※(今年度だけで何回書いたかわかりませんが)累乗の値は、4桁になるところまで知っておいて損はありません!2の場合は、13乗=8192まで。

5.4の方は、4^(5.4)と2022の比較なので、素直にlog10を取るのがいいでしょう。左辺はすぐに計算できます。右辺のlog2022では厳しいので、思い切って2000にできたかどうかですね。与えられた条件からも、2000でないと計算はかなり難しいです。不等号の向きをよく考えて、log2を0.3010、0.3011のどっちで置き換えるかは慎重に選びましょう。

 

 

※KATSUYAの解答時間は6:51です。昨年の小問よりかかった時間短いな。

 

 

☆第2問 【確率(+数列)】カードの数値の条件(B、20分、Lv.2)

確率の問題で、3枚のカードの数値がどれも2以上離れている確率です。気づけばどうってことないですが、発想寄りなので差はつきそうです。京大受験者なら正解してほしいところ。

今回はYを固定するといいと思います。不等式に一番多く出てくるのがYだからです。

空間上における不等式から体積を求める際に、どの面で切断するか(x、y、zの何を固定するか)を考えるのと同じ要領です。この場合は、出てくる回数のほか、次数の高さも考慮します。

Y=kで固定するとk=3~n-2で、Xはk-2通り、zはn-k-1通りとなります。(特にzは1ずれ注意)。これを掛け算してシグマを取ればOKです。

※Σの絡む確率は、ここ数年の難関大のトレンドです。要演習ですね。

別解として、1~n-2から異なる3つを取ってきて、小さい順にX,Y-1、Z-2とします。そうすればXとY-1、Y-1とZ-2は1以上離れていますから、XとY、YとZは2以上離れていますので、場合の数はn-2C3と一瞬で出す方法もあります。連続しない確率という表現でよく出てきますが、本問も言っていることはまったく同じです。

※KATSUYAの解答時間は4:33です。別解でやりました。これが別解で出来ると、時間も点数も貯金ですね。

 

☆第3問 【整数】3つの多項式の最大公約数(C、30分、Lv.3)

nに関する3つ多項式の最大公約数を求める問題です。式もキレイで難易度も整数として適度で、非常にうまく設定された問題です。まあ次から次へと、整数は東大や京大から良問が出てきますね^^;

聞いているのは最大公約数で、偶然にも東大も最大公約数を聞いてきました。なので使う手法も東大とおなじです。nに関する多項式で整数問題だと、合同式の利用が真っ先に思い浮かぶと思います。もちろんそれはそれである程度の演習量をこなしている証拠です。

しかし、最大公約数を聞かれた場合は、合同式からいったん離れましょう。(プロセスで使う分には全然あり) 多項式(文字式)どうしの最大公約数で最も威力を発揮するのは、ユークリッドの互除法です。

今をご覧になった人は、せっかくなのでしっかりここで身につけましょう。東大・京大の両方で使えた原則ですので。

 

具体的には、4乗と6乗の式を2乗の式で割り算します。すると余りが6、ー6と出ます。どっちも6なのがうまく設定されています。したがって、ユークリッドの互除法から、もとめる最大公約数はn^2+2と6の最大公約数だと分かります。

あとはn^2+2が6の倍数かどうかです。6で割った余りの調査となりますので、余りの調査なら合同式の出番ですね。6通りあるのでメンドウですが、2乗なら6m±1とかにして減らしていくといいでしょう。

 


※KATSUYAの解答時間は10:46です。東大の最大公約数の問題を解いた後なので、思いつきやすかったですね。

 

第4問 【空間ベクトル】垂直の証明、長さの最小値(B、25分、Lv.2)

空間ベクトルからで、6辺が分かっている四面体を題材にした問題です。平面幾何や三角比を組み合わせて解くこともできますが、思いつかなければ言われた通りベクトルでカリカリやればOKです。計算がメンドウなだけで、やることは決まっています。

6辺型の四面体の場合は、内積3種類を先に出しておくのがいいでしょう。三角形は3辺が分かっている状態なので、内積を出すときはほぼ余弦定理の感覚です。AB^2=OA^2+OB^2ー2OA・OBcosθですが、この太字の部分が内積OA→・OB→なわけです。

OA・OB、OB・OC、OC・OA(矢印省略)の内積3種も出して準備万端の状態にしてから取り組むと、答案としてもすっきりします。

(1)O起点にしてPGをOA、OB、OCで表し、内積を計算すればOK。先に出した内積3種も活躍します。

(2)は、(1)を利用するなら、「PG⊥BCとなるときに最小」とする流れとなります。Gは重心で、そのまま伸ばしたPM(OAの中点)が、AOとBCの両方に垂直になるとき、PMは最小となり、PGも最小です。

もしそれが思いつかなくても、PGは(1)で表されていますので、2乗して最小値を求めるでもOKです。ここでも内積3種類が活躍します。tやら1-tやらがたくさん登場してちょっと式は複雑ですが、しょせんは2次関数の最小値ですから、計算さえすればたどり着けます。

 

※KATSUYAの解答時間は15:51です。幾何的アプローチは苦手というか説明するのがメンドウなので、(2)は計算ごり押ししました。途中の係数の大きさ的には、やっぱ説明したほうが良かったかな、と思ったりも^^;

 

☆第5問 【微積分総合】面積、最大値、不等式の証明(BC、25分、Lv.2)

グラフ主体の微積分総合問題です。といっても、積分は最初だけで、ほとんど微分です。

(1)の面積はOKですね。cosやsinの奇数乗は、第2置換積分によってラクに積分できます。思いつかなかったら3倍角を利用してcos^3x=・・・の形にし、次数下げです。三角関数の積分は、角度を上げてでも次数を下げることが最優先です。

※第2置換積分とは、私が勝手に名付けたものです。cost dt=dx のように、式が短くなるような置換積分のことです。答案には書かないようにしてください。

(2)がメインです。面積f(t)はすぐに出せると思います。最大値なので微分ですが、微分した式=0となるtが出せないタイプです。tの具体的な値よりもtの存在を明らかにすることがメインなので、=0となるであろう因数(今回ならcostー3tsint)の部分を取り出し、x軸と交わることの証明に意識を向けます。

まずは単調性の確認です。超難関大(東大・京大・東工大あたり)では可能性は下がりますが、多くの場合は、この時点で単調性のある関数(単調増加か単調減少)になることがほとんどです。今回のcostー3tsintも単調減少が言えます。ですので、京大レベルとしては穏やかな方ですかね。

なので、端っこの0とπ/2を代入して符号が変われば、OK。交わった部分ががf'(t)=0となるtで、前後の符号変化から最大と分かります。

後半の証明ですが、多項式部分のαが消えていますので、f'(α)=0から、α=・・・に直した式を代入すればOK。α自体が出ない場合は、αが満たす方程式を常に(意識として)傍に置いておきましょう。

(3)はそのαをもう少し評価してほしいという問題。(2)で出したf(α)に何を代入すると9/16になるかを考えると、分子の9などから、cosαの方が√3が入りそうなので、π/6と予想がつきます。

なので、証明はf(α)<f(π/6)ということです。f(α)の単調性を考えると、さらにα>π/6まで言い換えられます。αの評価なので、先ほどのcot-3tsintの式がもう一度使えそうですね。

 

※KATSUYAの解答時間は15:06です。改めて時間を見ると思ったよりかかったかな。証明なので書くことは多いですね。

 

第6問 【数列】漸化式で表される数列の一般項(C、40分、Lv.2)

最後は数列の問題で、やや複雑な漸化式で表される数列{xn}と、準周期的な数列{yn}について、差の一般項を求める問題で、本セット最難問だと思います。

ynの方は1番目、4番目など、3つおきに公差3の等差数列になることは明らかです。xnの方も、漸化式のcosの部分を見て、こちらも周期3で何か規則があるのではと予想したいです。

予想がつこうがつくまいが、n絡みは実験してみます。x1~x6ぐらいまで調べると、3で割った余りが周期的になります。3で割った余りが確定すればcosの部分も確定するので、xnを3で割った余りが0,0,1の繰り返しになるだろうと分かります。自然数絡みで結果が予測できるので、帰納法で証明ですね。これが証明できれば、{xn}の方も3おきに漸化式を作るといいと思います。

例えば、x(3m+4)=x(3m+1)+(mの式)となりますので、階差数列の公式でx(3m+1)を出します。同様の要領でx(3m+2)、x(3m+3)も出せば、あとはそれぞれでyを引けばOKです。

3で割った余りで分類されていますが、n=3m+1などからnの式に直すとすべて同じ式になります。特に同じ式になる場合は、nに直さないと確実に減点は食らうでしょうが、ここまでくればまあまあな部分点は期待できます。

実際に差を6項目まで計算すると、1,3,6,10・・・で三角数なので、きれいになることは予想がつきます。

そんなに思いつきにくい難問ではないですが、3つの場合分けで同じような長い計算を強いられるので、時間はかかりそうですね。



※KATSUYAの解答時間21:09です。3つで分けて出しておいたが、実験できれいになるはずだと思ったので、nに直してちゃんと全部一致したので、正解を確信しました。

 

4.対策

例年は確率、整数、微積、さらに複素数平面(2022年は出題なし)が頻出。数学Bのベクトルもよく見かけます。ベクトルは立体のほうが好きなようです。

2021年、2022年の傾向はかなりこれに合致しています。これらの分野は特に演習量や解法の幅を増やしておきましょう。解説が方豊富な問題集で、自分の思いついた解法以外のものも身につけましょう。

京大は、発想力に重きを置いた問題が出ることがあります。あとは標準問題か超大物です。超大物は完答しなくとも合格は出来ますので、それよりも標準問題で落とさないように演習をすることが大事です。

原則の習得は青チャートなどで行いつつ、早めに入試基礎演習入試標準演習段階へと進めていきましょう。最終的には仕上げ段階まで行ってから、過去問に接続したいところです。

京大の過去問は単科長年タイプのものがあります。小問を省いた、発想力重視のものもあるので、その癖を実感するためにも、早めに見ておきましょう。

 

 

量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいでしょう。

以上です^^

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