順天堂大学医学部 | 2017年度大学入試数学

2017/01/21 2017/10/08

●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は順天堂大学(医学部)です。

※お知らせ

現在、本サイトと姉妹サイトの両方の編集を行っており、時期によって片方のサイトのチェックが甘いときがあります。コメントや質問の返信がない場合、お手数ですが両方のサイトにコメントをいただければと思います。どちらかは必ずチェックしています。2月中(入試期間中)は本サイトの方がいいかもしれません。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

いよいよやってまいりましたね。この季節。今年もやっていきます。
2017年　大学入試数学の評価を書いていきます。

2017大学入試：私大シリーズ

順天堂大学(医学部)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい　という目安にしてください。

順天堂大学　医学部

（試験時間７０分（穴埋め＋記述）、３問）

１．全体総評～計算量は微増、分野の偏りが激しい～

難易度は昨年と同程度の難易度かと思われますが、小問の穴埋めで斜め回転体や複素数平面の図形を出すなど、相変わらずの計算量です。第２問の図形は旧数Cの式と曲線からで、演習量で明らかに差がつきそうです。第３問は昨年に引き続き、いつもよりは答案が書きやすい。

また、全体的に出題分野がかなり偏っており、数学B、数学III以外の出題はありませんでした。

試験時間７０分に対し、

目標解答時間合計は130分【92分】←穴埋め部分考慮

2016年
目標解答時間合計は123分【90分】

2015年

目標解答時間合計は115分【84分】

まともに解けば時間オーバーなのはまあいいとして、やはり穴埋めとして解いてもかなり忙しいセットです。方針で迷ってもあまり時間をかけず、出来るところだけを抑えていくしかないでしょう。

KATSUYAは、57分で解いています(昨年64分)。

２．合格ライン

第１問の小問で（１）は確保。（２）の斜め回転は計算量勝負、（３）、（４）は発想力も必要。最低２つ、できれば３つ欲しい。穴埋めは14個あるので、９個あたりがラインか。

第２問はキー問題。に楕円関連の演習量や、図形の得手不得手で出来はかなり分かれそう。ここがダメなら、第１問を気合で100％とるしかない。

第３問は、（２）までをしっかり完答したい。（３）は答えづらいか。

６５％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問（１）数列、3項間漸化式、（B、15分【10分】、Lv.２）

数列の３項間漸化式の派生型です。誘導があるので、そんなに難しくないと思います。よけいな定数項を消すためにαを設定し、あとはただの3項間漸化式を解くだけです。

Principle Piece B-18

3項間漸化式　特性方程式から等比型を２つ作る

（拙著シリーズ(白) 数学B 数列 pp.39～44）

3項間漸化式は他も、特性方程式の解によって解法が異なりますので、整理しておきましょう。

第１問（２）・・・積分法の応用、斜回転体の体積（B、20分【12分】、Lv.２）

大問になり得る斜め回転の問題で、本学受験者なら未経験ではないでしょうが、計算量は比較的多めです。誘導に従う必要もあり、1通りの解法だけを丸覚えしていると手こずるかもしれません。

本問はQの座標を求めて、OQの長さは三平方で出せばOKということです。

Principle Piece III-80

斜め回転体の求め方　∫πr^2 d(軸)　r^2　と軸をx座標で表す

（拙著シリーズ(白) 数学III 積分法の応用 p.43）

本問であれば、r＝PQ、軸＝OQ　です。PQ、OQを両方とも放物線上の点x座標「ａ」で表せば、媒介変数表示の要領で置換積分が出来ます。

☆第１問（３）・・・複素数平面、正三角形になる条件（BC、20分【14分】、Lv.2）

正三角形になる条件を求める問題です。新課程３年目で、複素数平面の難易度は徐々に上がってきています。本問も比較的難易度の高い問題です。

正三角形であれば、基本的には６０°回転を用いればOKですが、z１やz2など具体的な数式のない複素数なので、辺の長さが等しいことを式にしていくとよかったと思います。この等式を利用すれば、zはほとんど関係がないことがわかります。計算は多少膨れますね。

☆第１問（４）・・・ベクトル、内積の最大値（BC、15分【７分】、Lv.3）

指数関数や対数関数が入ってますが、実質はただのベクトルの問題です。単位ベクトルどうしなので、「内積が最大＝なす角が最小」　という読みかえができることが第一段階、それが、原点から引いた接線との接点になるときであると気づくのが第２段階です。

原点から引いた接線は、接点をおいて求めましょう。通ることよりも接することが優先です。頻出の接線なので、すぐに答えが出せたかもしれませんが。

ベクトルの成分が出れば、内積は簡単に出せますね＾＾

ULTIMATE Principle Piece

「通る」よりも「接する」が優先　接するときはまず接点をおく

（拙著シリーズ(白) 数学II 微分 pp.32～36）(新版、旧版で記載ページ、番号が異なる可能性があります。)

※KATSUYAの解いた感想

今年もこの順天堂から始まったか。（１）3項間のしっぽあり。しっぽをαで調整して消せと。あとはただの３項間ね。（２）斜め回転か。小問で聞くとは相変わらずだわ。原則に従って終了。OQは三平方ではなく、Qの座標から出せってことね。（３）複素数平面ね。正三角形なら回転かな。いや、これは辺の長さをおいて｜z｜で割ったほうがいいな。てか、zの意味ないな、これ。最後は計算量が多い＋2重根号を外す計算に迫られ、時間をとられる。（４）は微分と最大・最小っぽいな。2点とも動くし、かなりめんどいか。内積の最大やから角度最小か。てことは接するときと考えてOKか。見掛け倒し。

解答時間、５＋８＋１１＋３＝２７分。

☆第２問・・・式と曲線、楕円と円、楕円の性質（C、35分【24分】、Lv.３）

式と曲線からがっつり出題された第２問。本大学は比較的この分野（旧数学C）からの出題が好きですので、対策はとってきていると思われますが、パターン問題ではないので、十分に差がつきそうな問題です。

最初は、円の拡大・縮小を利用して楕円部分の面積を求めるとベンリだから使うよ、という意思表示でしょう。

メインは次からです。状況設定がちゃんと分かっていないと全滅になりかねません。まず楕円の定義として、2定点（焦点）からの距離の和が一定である点の軌跡です。これは必ず教科書にあります。

また、身近に楕円を描く方法として、画鋲で2点をとめて、そこから鉛筆などで糸を張っていくというものがあります。教科書の最初やコラムなどに書いてありそうな内容ですが、このイメージを想像できないと、本問は何を言っているのか分からないかもしれません。

例えば、最初の弧EFは、AB、BC、CDに沿っ糸が張られており、残りの長さは２です。従って、AとDからの距離の和が２となるような楕円となります。FGも同様に考えましょう。

なお、楕円の公式（焦点、長軸、短軸など）が抜けている人、多いので、忘れている人は要復習！！

面積については、先ほどの円の拡大・縮小を利用します。最初の楕円の一部は、円になおすと中心角６０°なので、具体的に値が出せます。後半はななめになっていますが、座標におけば分かりやすかったかなと思います。

Oを原点、BDをx軸にとればOK。AFは図IIを見ればBD（x軸の正の向き）と45°をなすことはわかりますし、長さは円の拡大・縮小で出せます。これでFの座標も分かり、F’はy座標だけ拡大すればOKです。

最後の囲まれた部分は、それぞれの面積を４倍、残りは合わせて正方形１個分になります。

※KATSUYAの解いた感想

最初は円の拡大・縮小を利用すると面積は出しやすい、みたいな空気だな。メインの部分。糸を張りつめた状態で1週させたときの頂点・・・？なんのこっちゃ？楕円になるんやろ、、、あ、糸張って鉛筆で書くイメージね。若干言葉足らずのような気もするが、、、出した答えが穴埋めの形にあっているので多分大丈夫だろう。図３は座標で追ったほうがよさそうと判断。βは場所を勘違いし、形にあわず本文できちんと確認してやり直し。　最後はおまけかな。解答時間15分。

第３問・・・不等式の証明、帰納法、抽象関数の不等式（BC、25分、Lv.3）

今年の、いわゆる「順天堂医学部名物の第３問」は、普段に比べると抽象性が低く、答案には書きやすい問題だったかもしれません。題材は「上に凸の関数の性質」という分かりやすいものですが、分野的には融合されています。

（１）はただの不等式証明です。左から右をひけば平方の形にできます。ａ，ｂには制限がとくにありませんので、そのような場合の不等式の証明は、差をとった場合は平方完成して、「２乗は０以上」を利用する可能性が高いです。

Principle Piece II-7

不等式の証明　条件がないなら平方完成形へ

（拙著シリーズ(白) 数学II 式と証明 p.17）

（２）は、自然数n（本問は正確にはk）に関する証明ですので、帰納法の利用を思いついて欲しいところ。あまり数式がないので、慣れていないと答案が書きづらいですが、これでも普段よりはマシです。

Principle Piece B-23

帰納法は次の場合に有効な証明法

[1] 自然数nに関する証明である

[2] 結果が分かっている or 推測できる

（拙著シリーズ(白) 数学B 数列 pp.50-57）

（３）はいまいち意図が分かりかねますが、（２）を利用するとすれば、ａ_k=k/n　とおいて、（２）を利用するのでしょう。（２）は、nがどれだけ大きくなっても使えるということの証明にもなっていますので、n→∞とすることで題意の不等式になります。片方は区分求積です。上に凸という表現を出したくなる問題ですが、それで行けるなら（１）から全部OKになってしまいますおで。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想

凸関数の不等式の話か。抽象性は今年も高め。でも（１）（２）までは答えやすい＾＾　（１）は引いて終了。（２）は相加相乗でよくやるパターンの帰納法で、こちらも手が止まることなく終了。（３）は・・・相変わらず、（２）までの結果を引き継ぐのか、関係なく議論するのかよくわからない。n→∞にするのが自然な流れかな。　解答時間15分。