一橋大学 講評 | 2022年大学入試数学
2022/05/29
●２０２２年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は一橋大学です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２２年 大学入試数学の評価を書いていきます。
２０２２年大学入試（国公立）シリーズ。
一橋大学です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
★お知らせ★
Twitter始めました こちらもよろしくお願いいたします＾＾
Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾ 原則習得のための参考書です。
YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。
一橋大学
（試験時間120分、５問、記述式）
１．全体総評～問題間の難易の差が大きい～
前半３題が一橋としては穏やか、後半2題は東大理系で出題されてもまったく違和感のないレベルで難易度の差が大きいセットでした。2020年も似たような傾向でした(前半の方が難易度高め)。
分野としては、積分の出題がありませんでしたが、それ以外は整数、三角(＋微分)、図形、空間ベクトル、確率と漸化式で、一橋としては頻出のセット。確率と漸化式は旧７帝大では少し陰りがありますが、一橋では健在。そして今年は難しい。。
試験時間120分に対し、標準回答時間は150分。(ただし、後半2題で90分)
2021年：130分
2020年：115分
2019年：120分
2018年：138分
2017年：135分
2016年：130分
2015年：150分
2014年：145分
2013年：125分
2012年：135分
2010年：125分
２．合格ライン
前半の第１問~第３問を取り、後半2題のうち手が付きそうな方に残り時間で着手する。ほとんどの受験生がこの戦略を取ったでしょう。
あえてキー問題とするなら、やはり発想重視の整数問題(第１問)で差がつきそう。
６０％＋αぐらいがラインですね。
３．各問の難易度
☆第１問 【整数】等式を満たす整数解の組（B,20分、Lv.2）
右辺が2022になるようにする問題。2020年も年号がらみ、昨年も第1問の整数問題(素数の個数)が話題になりましたが、今年も最初に整数が来て、年号がらみとなりました。
今年はコツコツ絞ってコツコツ調べるだけのタイプなので、一橋としては易しめの整数問題だと思います。
整数問題のコツは、とにかく候補を絞ることです。やみくもに差出してもダメです。その際にまず考えたいのは、奇偶の一致ですよね。もちろん、それだけでは絞れないこともありますが、見ればすぐに分かる奇偶を考えない理由はありません。
問題文は右辺が偶数です。したがって、左辺も偶数でないとダメです。なので、２の指数が両方０か、両方０でないかです。簡単な方から調べます。両方ゼロなら、３の累乗の和で2022が表せることになります。ｂ＝1～６までなので、全部調べてもたいしたことはないでしょう。
※３の累乗の値をどこまで覚えているかで、この作業がいかにラクになるかが分かると思います。累乗の値はなるべく覚えましょう。
次に両方ゼロでない場合ですが、2022は２では割れますが、４では割れません。ここに気づけば本問は勝ちが見えてきます。なので、a,cが両方２以上だと左辺が4の倍数になるので、aかcのどちらかが１ということです。式から(a,b)と(c,d)は入れ替え可能なので、a=1として議論を進めます。
すると2^c・3^d=2022－2・3^b です。3^b<1011なので、ｂ＝１～６のたった6個ですから、これもしらみつぶしに調べればＯＫでしょう。右辺を素因数分解して、２と３の因数のみが出てきた場合だけ条件を満たします。
あとは(a,b)と(c,d)の入れ替えだけ忘れないようにしましょう。
KATSUYAの解答時間は13:46です。今回はしらみつぶしで何とかなるタイプなので、一橋としては易しめか。
第２問 【三角関数＋微分】面積の最大値（B、20分、Lv.２）
三角関数と微分の融合問題で、三角関数で表された座標からなる三角形の面積の最大値を求る問題。途中で特に詰まる部分もなく、計算もそこまで大変ではないので、落とせません。
3点が与えられており、1つが原点なので、面積は面積公式S＝1/2|ad-bc|を用いればすぐに表せます。絶対値の中は三角関数になりますが、三角関数においては、角度と種類をそろえることを目標に、使う公式を判断します。
今回はsin２θを倍角でθにそろえると、cos^2θが見えます。2乗は相互関係により自由に入れ替え可能ですから、これでsinθのみの式になりますね。
出来た式はsinθの3次式となりますので、sinθ＝ｔと置き換えます。置き換えたときには、すぐにその範囲を書くように意識しておきましょう。ー1≦t≦1です。
絶対値は式全体についているので、あとでｔ軸より下の部分をひっくり返すと得られます。なので絶対値なしのグラフの増減を調べましょう。これで最大値も出ますね。
※KATSUYAの解答時間は10:10です。一橋でこれだと差がつかないのでは？
第３問 【図形と式】不等式の表す領域（B、30分、Lv.２）
やや複雑な不等式の表す領域を図示する問題ですが、誘導によるヒントによって、難易度が大きく下がっています。
（１）は非常にラクにできます。一般に｜Ｘ｜≦Ｙ⇔ーＹ≦Ｘ≦Ｙです。これは、Ｙが定数でなくても成り立ちます。(不等式なので、もちろん実数である必要はあります) 知らなかった人はぜひ覚えておきましょう。
非常に簡単に証明できる事実ですが、これが（２）の大ヒントになっています。
（２）では、絶対値のついている方がＸーＹになり、ついていないほうがＸ＋ＹになるようにＸとＹの式を探します。和差算みたいな感じですから、足して2で割ればＸの式が、引いて２で割ればＹの式が出ます。
これをそのまま（1）にあてはめるだけです。円と放物線になります。交点は汚いですが、出しておいた方が揚げ足は取られないでしょう。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は10:09です。3問連続で落とせない問題が続く。
第４問 【空間ベクトル】線分の通過領域の体積（Ｃ、45分、Lv.3）
空間ベクトルの問題。線分上の点と、立方体の内部を動く点で結ぶ線分の通過領域の問題。ベクトルではありますが、立体のイメージをつかまないと体積を求めることは難しく、イメージがついても場合分けも多いので完答するのは非常に難しい問題です。
（１）からイメージがわかずに諦めた人も多いと思います。私も一度飛ばし、第５問をやってから戻ってきました。（1）だけでも、と思って解く場合は、(空間なので難しいですが)出来る限り位置関係を正確にして図を書くしかないでしょう。
※以下、図が書けていることが前提です。図がある程度正確に書けないと、数式で攻めるのは至難の業です。
ｔ＝ー１のとき、(-2,-1,0)からすべての頂点に線を引くことで、立方体に加えて、2面底面とする四角錐が飛び出ることが分かると思います。これらを加えればOK。
（２）以降は、（１）だけでも、と思って書いた図を参考にして一般化を考えます。
（1）で加えた2つの四角錐は、底面がｘ軸に垂直な面とｙ軸に垂直な面です。なぜこの2面だけになるのかを考えると、ｘ座標とｙ座標が、立方体の存在範囲である０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１にないからです。ｚ座標だけはギリギリ０≦ｚ≦１に入ったので、ｚ軸に垂直な面を底面とする四角錐が飛び出ないことになります。
これに気づけると、あとは幅を１刻みにして場合分けすればいいのでは、と思えます。点Ａのｘ、ｙ、ｚ座標はみんな１ずつ違うからです。以下のように場合分けして、どんな四角錐が飛び出るかを判断します。
t<ー1(x,y,zみんな範囲から外れる)
ー1≦t<0、(x,y外れる)
t=0 (xのみ外れる)
0<t<1 (x,z外れる)
t=1 (zのみはずれる)
1≦t≦2 (y,z外れる)
2<t(x,y,zみんな外れる)
すべてｔの1次以下の式になり、式自体はかなり単純ですが、空間把握が難しいのと、場合分けも多いので（2）はほぼ捨て問でしょう。
KATSUYAの解答時間は28:16です。問題文読んで、即飛ばしました。後から図を大きく書いて調べました。試験会場ではかなり焦りそうな問題ですね。
☆第５問 【確率】確率と漸化式（C、45分、Lv.3）
最後は確率で、2020年に引き続き漸化式が絡むタイプです。ですが、しかし、難易度は2020年とは大きく違います。今年の確率は、一橋大の中でもかなり難しい部類に入ると思います。
（１）ですが、確率と漸化式では、基本的にｎとｎ＋１を見比べます。なのでｎ＋１回目に赤玉を取り出す確率も持ち出すことになりますが、問題はｎ回目も、ｎ＋１回目も、それがＡから取り出されたのかＢから取り出されたのかが不明なところです。
例えば、Ａから赤を取りだすには、直前でＢから白を取るか、Ａから赤を取るかです。したがって、白を取り出す場合も考える必要があります。求める以外の部分も文字で置いていくという、原則を使っています。
このまま漸化式を作ると、ＡやＢから赤、白を取り出すものがすべて文字となり、4文字の連立漸化式となってしまうので、かなり厳しいです。
そこで、求めたい確率ではなく、ｎ回目に袋Ａを選ぶ確率を置くことを考えます。求めたい確率でない確率で漸化式を作らないとすんなりいかないので、今回はかなり難しかったと思います。
私もその発想はすぐには出てこず、ｎ＝３まで調査したときに、もしかして確率が一定？と推測してからようやく思いつきました。
ｎ＋１回目にＡから選ぶには、ｎ回目にＡで赤、ｎ回目にＢで白です。実は、漸化式を作ろうとすると(2回目以降は)2/3と一定になります。赤白の組成がＡとＢで逆であるとことがポイントです。
Ａ、Ｂから選ぶ確率が確定すれば、赤を取り出す確率も確定します。今回はその確率も一定です。
（２）は（１）で、ｎ回目にＡを選ぶ確率で漸化式を作ると気づけば、いつも通りの原則（ｎとｎ＋１を見比べる＋求める以外の部分も文字で置いていく）にあてはめるだけです。今回はＡかＢかなので、他の文字でおくまでもなく、Ｂの方は１－●と置けばＯＫ。
漸化式はいつも通りの４型ですので、特性方程式を作って等比型に帰着です。確率と漸化式では、4型が圧倒的に多いです。
袋を選ぶ確率が出れば、2/3×(Ａ選ぶ)＋1/3×(B選ぶ)でqnも出ますね。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間31:12。今年のは完全にやられましたね。直接漸化式を作らない設定にしてきた一橋大に一本取られましたね。袋Ａを選ぶ確率でおこう、という発想にいたるまで20分以上ごちゃごちゃ計算してました。
４．対策
頻出分野は整数、微積、確率です。まんべんなく融合してきますので、穴がないように対策しましょう。
一橋の数学は理系で出題されても難しいタイプの問題なので、理系並みの対策をとる必要があります。青チャートを早い段階で終わらせ、入試基礎→入試標準レベルまでは行い、できれば仕上げ段階まで行いましょう。整数問題や確率・漸化式などは、旧７帝大の問題などで練習してても、ちょうどぐらいです。
一橋大は単科で50年分のものなどがあります。ある程度演習をしたら、こちらを最新年度からさかのぼってやるのもアリでしょう。2005年までなので、これ以降は赤本で対策を。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３もしくは、６：４ぐらいでもOK。
以上です＾＾
■他年度の、本大学の入試数学■
＞＞ 2010年度
＞＞ 2012年度
＞＞ 2013年度
＞＞ 2014年度
＞＞ 2015年度
＞＞ 2016年度
＞＞ 2017年度
＞＞ 2018年度
＞＞ 2019年度
＞＞ 2020年度
＞＞ 2021年度
★お知らせ★
Twitter始めました こちらもよろしくお願いいたします＾＾
Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾ 原則習得のための参考書です。
YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。
