東京工業大学 講評 |2022年度大学入試数学

      2022/05/29

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京工業大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2022年 大学入試数学の評価を書いていきます。

2022年大学入試(国公立)シリーズ。
東京工業大学です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。


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東京工業大学
(試験時間180分、5問、記述式)

1.全体総評~逃げ道のない苦しいセット~

東工大らしいセットで、どの問題も発想力、計算量の少なくとも一方をかなり必要とする問題。「これはまだマシ」と言えるようなものがなく、どれを解くにしても相当な力量が必要なセットです。ここ2年ほどは「まだこの問題なら」と思えるものがありましたが、今年はキツイ。

分野ですが、数IIIの複素数平面から2問出ているのが目を引きます(しかもどちらも領域)。あとは微積分が1つ、整数、図形です。際最後の図形も解法によっては数IIIで、実質数IIIから4問、残りが整数という構成です。




試験時間180分に対し、標準回答時間は230分。解答時間も大幅にオーバーです。

2021年:解いていません(いつか解きます)。

2020年:195分

2019年:225分

2018年:200分

2017年:200分

2016年:170分

2015年:195分

2014年:165分

2013年:175分

2012年:243分

2011年:330分(制限時間150分) 平均計算にはのぞきました。

2010年:130分(制限時間150分) 平均計算時には1.2倍しました。

11年平均:196.3分

2.合格ライン

第1問は一切誘導がないため、解法を考えるのと、解法に従ってすべての場合を尽くせるか。計算も発想も必要。
第2問は初見ではキツイか。一度でも類題をやっていれば、という感じ。(1)は差がつきそう。(2)は難。
第3問はこのセットではマシ。他が解けなかったら、ここを必死に頑張るしかない。
第4問の複素数平面は(1)どまりの人が多いか。(2)は手法、計算量ともにハイレベルで難。
第5問は見た目がごつく、実際の計算量は見た目通りごつい。しかし、誘導に従えばまあまあ食らいつける。あきらめなかったかどうかで差が出そう。

第3問を取り、第5問はみんな初見なので落ち着いて誘導に従って(3)までは確保。第2問が出来れば大きいが、経験の差が出る。小問の部分でかじれる部分をかじり、最後まで行けそうなものに手をつけるしかないでしょう。50%とれれば十分でしょうか。

3.各問の難易度

☆第1問 【図形と式+複素数平面】2次方程式の解の存在範囲(C,40分、Lv.2)

2次方程式の解が存在する範囲に関する問題で、複素数も考えるので分野的には複素数平面ですが、考え方的には領域が主体かと。シンプルな設定の分、やるべきことも自分で考えるため、難易度の高い問題です。

とりあえず、実数のときとそうでないときに分けるのはいいかと思います。実数の時は実軸上を動くので、解の大きい方と小さい方について考えればOK。a,bと2文字が絡みますが、1文字固定して片方ずつ動かします。

まずaを固定してbを動かすと、大きい方、小さい方の解の範囲が分かります。それからaを動かして範囲を決定しましょう。a,bを含んだ式がたくさん登場するので、計算も多め。

虚数解の時の方がラクな気がします。実部=x、虚部=yとします。a,bをx、yの式に簡単に直せるので、あとは|a|≦1、|b|≦1に入れるだけです。

整理した解答を見るとそんなに難しく見えませんが、誘導が全くない状態では難易度はかなり高いと思います。

 

※KATSUYAの解答時間は27:11です。途中経過で方針を誤り、B5用紙半分ぐらい書いてやり直しました。シンプルで誘導もないので、すんなり1発で書くのは難しい問題ですね。

 

☆第2問 【整数】3つの数の最大公約数(CD、50分、Lv.3)

a,b,cの最大公約数(以下g)が1なら、その基本対称式もgが1であることの証明と、後半は別の対称式の最大公約数です。整数問題としては大物系の難易度だと思いますが、どこかで見たことのある人もいるのではないかと思いますので、解けた人も一定数いそうです。

(1)は経験済みでないと思いつくのはキツイと思いますが、g=1であることの証明は、背理法が有効であるというアプローチの基本に従えばいけたかも。

とりあえず、3つともある素数pの倍数であったとします。積abcからアプローチすることは気づくでしょう。どれかはpの倍数です。aだとして残り2つの式を考えると、今度はb+c、bcの2文字がともにpの倍数と言えるので、全く同じアプローチで全部pの倍数が言えて矛盾が導けます。

3文字の基本対称式から2文字の基本対称式に移るところがミソですね。

 

(2)は(1)の結果に加えて、さらに発想が必要。文字式の最大公約数を考える場合は、ユークリッドの互除法を考えるところが最大のポイント。A=BQ+Rの形にして、g(A,B)=g(B,R)と式を変えていきます。

※偶然にも2022年は東大、京大でも出題があり、まったく同じ原則で解決できました(東大はもうひと踏ん張り必要)。

話を戻します。3文字の対称式も、基本対称式で必ず表せます。東工大受験者なら、3つの2乗和、3乗和、4乗和ぐらいまでは知っておきべきです。これを先ほどのA=BQ+Rの形とみなせればほぼ勝ち確定です。

a^2+b^2+c^2=(a+b+c)×(a+b+c)-2(ab+bc+ca) なので、R=2(ab+bc+ca)とみなせます。

a^3+b^3+c^3=(a+b+c)×(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)+3bac です。基本対称式だけにするならもう少し変形しますが、今回はこれでOK。a+b+cで割った商と余りが分かり、R=3abcです。

なので結局、求めたい公約数は、a+b+c、2(ab+bc+ca)、3abcの最大公約数gということです。gに2や3以外の素因数が入っていたら、(1)に矛盾しますし、2や3の素因数が2つ以上あるようだと、やはり(1)の3数すべてに、その2つ以上ある素因数が入ることになります。

以上から、あり得るとしたらg=1,2、3と2×3=6の4つということです。存在の証明は、あとはあり得る1つでもを探せばOK。すべてあり得ます。

 

※KATSUYAの解答時間は22:57。(1)はなんかどっかで見たことあるような。。。なので流れは(1)(2)ともにそこまで考え込まずに出てきましたが、答案として丁寧に書くと時間は持ってかれますね。

 

第3問 【図形と式+α】条件を満たす点Pの軌跡と領域の関係(C、40分、Lv.2)

数II、数III系の図形の問題で、条件を満たす点Pがどのような軌跡を描くかと、ある領域からは外れることの証明。小問で刻まれており、多少は手がつくのではないかと。

(1)はサイクロイドの時みたいに、ベクトルで辿るのがいいと思います。OPベクトル=OAベクトル+APベクトルです。角度αの場所に加えて、角度tの場所も特定しましょう。APベクトルは長さがcosα(APBが直角三角形であることを利用)、x軸の正の向きとのなす角が180ー∠PAB-∠BAOです。

式変形は、sin(90°+θ)=cosθの公式を使いますです。90°系は苦手な人が多いですが、縦横ひっくり返るだけです。東工大受験者なら大丈夫でしょう。x成分はさらに「積→和」、そしてもう一度「和→積」とを使うときれいになります。計算量は多めですね。

 

(2)は(1)でしっかり成分を出していれば、OP=cos(tーα) と分かりますので、この移動量がそのまま道のりになります。cosα→1まで増え、そこからsinαまで減少です。道のりなので∫|v|dt の公式でも出ますが、この問題でそこまでするのはちょっと大げさかなと。

(3)は(2)でPの動きを図形的に見ていると分かりやすいですが、数式だけで攻めていると「急に何やこの問題は?」となります。Pの移動の仕方から、OPの最小値は両端のcosαかsinαです。45°を境目にどっちか変わりますが、ちょうどその最小値が領域の境界線上にあります。領域は境界を含まないので、ギリギリ領域内にはないということです。

図形的には分かりやすいのですが、論証なのでやっぱり時間持ってかれますね。


※KATSUYAの解答時間は28:08です。(1)の式変形もまあまあ長く、(3)の論証は発想+量ともにあり。重量級が続く感じです。

 

☆第4問 【複素数平面】1次分数変換、直径の存在範囲(CD、60分、Lv.3)

第1問に続き複素数平面で、またもや存在範囲の領域図示です。5問のうち2問が複素数平面かつ領域図示なのも驚きですが。第1問よりも輪をかけて式変形力、計算力が必要で本セット最難問でしょう。

(1)最初は入試問題としては典型的です1次分数変換の問題は、w=・・・の式をz=・・・に直して条件に代入するんでしたね。文字aが入るので式変形は繁雑ですが、東工大受験者であればこの計算は合わせたい。

なお、軌跡はアポロニウスの円になり、内分点と外分点を直径に持つので、この設定なら半径にルートが入ることはありません。したがって、式変形で最後の半径のところは、うまく何かの2乗になっていれば安心できますね。

なお、阪大理系でも類題が2022年に出題されました。(阪大はこれを出して終わり)

 

(2)が本セット最難問かと。問題文の表現が数学的に仕方ないと思いますが、分かりにくい。。。要は縦の直径の通過領域です。中心に対し、半径分だけ上下できます。なので、で求めた式の中心をx、半径をyとおいたとき、その軌跡が領域の境界なので、軌跡の問題に帰着されます。

媒介変数の軌跡の問題は、とにかく媒介変数を消去することですが、これが今回、一筋縄ではいかない。a=・・・にできれば簡単に消去できますが、aとa^2が混じっているため、なかなか消去できません。

実は、yの式の方は2乗するとa^2だけの式になります。xはもともとa^2だけの式なので、これでxとyだけにできますね。相当経験量が豊富でないと、そもそもこの発想が出てきませんので、この式からx、yだけの式にするのはかなり厳しいでしょう。

さらに繁雑な計算を経て、(その甲斐あってか)軌跡の式は比較的係数のおだやかな双曲線まで持ってこれます。あとは漸近線を添えて書けばOKでしょう。(漸近線はなくても減点されないと思いますが)

なお、最終手段(計算ごり押し)として、両方とも微分をして変化表を作る方法もあります(式的に煩雑でやる気が起きるかどうか)が、それだと双曲線になることが分かりませんので、形があまりにも双曲線から外れている図だとマズイでしょう。(白紙答案よりは全然いいですが)

 

※KATSUYAの解答時間は39:20です。(2)の式変形はかなり考えましたが思いつきませんでしたので、上記は結果論です。私は、媒介変数の形からして2次曲線のどれかだろうと予想し、px^2+qy^2=rx+sという形になると(x軸対称なのでyの1次の係数はないハズ)仮定して、強引にp,q,r,sを出してムリヤリ変形しました。

 

第5問 【微積分総合+極限】解の存在、不等式の証明、ハサミうち(C、50分、Lv.2)

最後は数式主体の微積分総合で、ハサミうちによる極限も絡んでいます。確率密度関数を背景にしているものと思われますが、かなりみかけはごついです。それに惑わされず、丁寧に誘導に従っていけば(3)ぐらいまでは行けるかと。(4)の答案量は見かけ以上にゴツイ計算も入るのでまあまあメンドウ。

(1)はとりあえず積分しましょう。三角関数の積分は次数を下げるのが優先なので、積→和の公式を利用します。この値が1になればいいので、結局a+cos2a=1となります。これを満たすaの存在を示せばいいので、微分して増減を調べましょう。

微分した式は極値を持ちますが、極値をとるxの値も出るのでそんなに難しくはないかと。あとは増減表を書けばx軸を1度またぐことがわかりますね。

(2)は簡単です。f(x)が単調増加なので、それを一言断って、あとはb≦x≦c で f(b)≦f(x)≦f(c)となりますので、各辺に∫(b~c)をつけるだけですね。

(3)まではなんとか正解したい。右辺の式と(1)の式を見比べると、i=1,2,・・・nで和を取ればいいことは分かると思います。左辺ですが、極限を取る前であっても、和をとればS(n,k,i)/kの定義からしても1です。各項は収束しますから、limの記号とシグマの記号は入れ替えられます(この断りは重要!)ので、これで左辺は1となり、(1)の式に一致しますね。

Sの定義をしっかり理解していれば計算もほとんどいらない問題でした。

(4)は、平均値なので、i×S(n,k,i,)/kとなります。iが入っただけなので、lim {i×S(n,k,i,)/k}も収束します。

An=lim A(n,k)=lim Σi×S(n,k,i,)/k= Σi×lim{S(n,k,i,)/k} となります。先ほどと同じで、和の各項が収束するならlimは前に持ってきてもOK。

するとlim{ }の部分が(3)の定義から定積分になります。あとはこれをi=1,2,・・・nまで足せばOK。このタイミングで(2)の不等式を持ってきます。すると左辺、右辺ともに区部求積法が使えて同じ結果になるので、ハサミうちというわけです。

最後の定積分の計算にも部分積分が入り、定数aも思ったよりうっとおしいです。最後まで気は抜けませんね。

 

※KATSUYAの解答時間34:11。東工大っぽくない感じ(市立大とかに出そう)。見慣れない題材において問題文に丁寧に従う力を見ている感じですかね。最後は答案的に結構しんどい^^;さくさくやらないと50分ぐらいかかるかと。

 

4.対策~論証力、段階を踏んで解決していく能力が必要~

例年の傾向だと、数IIIからは微積(2問)+複素数平面、整数、確率、空間ベクトルあたりから5問です。今年は複素数平面が2題と偏っていました。

東工大の問題は、普通なら小問になっているようなものを自分で見つけ出し、自分でそれを解くという作業を行わなければいけません。

なので、原則習得段階では、とにかく自分で問題と解法を両方思い出せるような状態になっておく必要があります。(数値とかまで完全に覚える必要はないです。初見問題の際に、ああ、似たような問題文のものがチャートのこの辺にあったなぁ、、、そんときってこうやって解いたよなぁ。ぐらいでOK)

その後の入試基礎演習入試標準演習の際にも、似たような問題と解法は常に見比べるようにしましょう。したがって、同じレベルの問題でも1冊だけ行うのではなく、複数行ったほうが解法の幅が広がると思います。

2018年の第5問のようなこと(ネタが同じ問題を11年越しに出題)が今後、起きないとは限りません。また、複素数平面は2005年以前のものでないと演習できないので、これらも10年分ぐらいチェックしておいてください。最新年から、20年分ぐらいはチェックしておきたいですね^^。

東工大の数学は単科長年のものがありますので、実力がUPしてきたらそちらで演習してもいいでしょう。

 

 

 

初期は、量をこなす演習:じっくり演習=8:2ぐらいがいいですが、少しずつじっくり演習にシフトすべきです。受験後期(秋以降)には、逆に試行錯誤を多めにし、4:6でもいいぐらいです。

以上です^^

 

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