東京工業大学講評 |2022年度大学入試数学

2022/03/02 2022/12/13

●２０２２年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京工業大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２２年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２２年大学入試（国公立）シリーズ。
東京工業大学です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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こちらも、原則習得のための参考書です。

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Twitter始めました　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

東京工業大学
（試験時間180分、５問、記述式）

１．全体総評～逃げ道のない苦しいセット～

東工大らしいセットで、どの問題も発想力、計算量の少なくとも一方をかなり必要とする問題。「これはまだマシ」と言えるようなものがなく、どれを解くにしても相当な力量が必要なセットです。ここ2年ほどは「まだこの問題なら」と思えるものがありましたが、今年はキツイ。

分野ですが、数IIIの複素数平面から2問出ているのが目を引きます（しかもどちらも領域）。あとは微積分が1つ、整数、図形です。際最後の図形も解法によっては数IIIで、実質数IIIから4問、残りが整数という構成です。

試験時間180分に対し、標準回答時間は230分。解答時間も大幅にオーバーです。

2021年：解いていません(いつか解きます)。

2020年：195分

2019年：225分

2018年：200分

2017年：200分

2016年：170分

2015年：195分

2014年：165分

2013年：175分

2012年：243分

2011年：330分(制限時間150分)　平均計算にはのぞきました。

2010年：130分(制限時間150分)　平均計算時には１．２倍しました。

11年平均：196.3分

２．合格ライン

第１問は一切誘導がないため、解法を考えるのと、解法に従ってすべての場合を尽くせるか。計算も発想も必要。
第２問は初見ではキツイか。一度でも類題をやっていれば、という感じ。（1）は差がつきそう。（2）は難。
第３問はこのセットではマシ。他が解けなかったら、ここを必死に頑張るしかない。
第４問の複素数平面は（1）どまりの人が多いか。（2）は手法、計算量ともにハイレベルで難。
第５問は見た目がごつく、実際の計算量は見た目通りごつい。しかし、誘導に従えばまあまあ食らいつける。あきらめなかったかどうかで差が出そう。

第3問を取り、第５問はみんな初見なので落ち着いて誘導に従って（3）までは確保。第２問が出来れば大きいが、経験の差が出る。小問の部分でかじれる部分をかじり、最後まで行けそうなものに手をつけるしかないでしょう。50％とれれば十分でしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問　【図形と式＋複素数平面】2次方程式の解の存在範囲（C,40分、Lv.２）

2次方程式の解が存在する範囲に関する問題で、複素数も考えるので分野的には複素数平面ですが、考え方的には領域が主体かと。シンプルな設定の分、やるべきことも自分で考えるため、難易度の高い問題です。

とりあえず、実数のときとそうでないときに分けるのはいいかと思います。実数の時は実軸上を動くので、解の大きい方と小さい方について考えればＯＫ。a,bと2文字が絡みますが、1文字固定して片方ずつ動かします。

まずａを固定してｂを動かすと、大きい方、小さい方の解の範囲が分かります。それからａを動かして範囲を決定しましょう。ａ，ｂを含んだ式がたくさん登場するので、計算も多め。

虚数解の時の方がラクな気がします。実部＝ｘ、虚部＝ｙとします。ａ，ｂをｘ、ｙの式に簡単に直せるので、あとは|a｜≦1、|b|≦1に入れるだけです。

整理した解答を見るとそんなに難しく見えませんが、誘導が全くない状態では難易度はかなり高いと思います。

※KATSUYAの解答時間は27:11です。途中経過で方針を誤り、Ｂ５用紙半分ぐらい書いてやり直しました。シンプルで誘導もないので、すんなり１発で書くのは難しい問題ですね。

☆第２問　【整数】3つの数の最大公約数（CD、50分、Lv.3）

a,b,cの最大公約数(以下ｇ)が１なら、その基本対称式もｇが１であることの証明と、後半は別の対称式の最大公約数です。整数問題としては大物系の難易度だと思いますが、どこかで見たことのある人もいるのではないかと思いますので、解けた人も一定数いそうです。

（１）は経験済みでないと思いつくのはキツイと思いますが、ｇ＝１であることの証明は、背理法が有効であるというアプローチの基本に従えばいけたかも。

とりあえず、３つともある素数ｐの倍数であったとします。積abcからアプローチすることは気づくでしょう。どれかはpの倍数です。aだとして残り2つの式を考えると、今度はb+c、bcの2文字がともにpの倍数と言えるので、全く同じアプローチで全部pの倍数が言えて矛盾が導けます。

3文字の基本対称式から2文字の基本対称式に移るところがミソですね。

（２）は（１）の結果に加えて、さらに発想が必要。文字式の最大公約数を考える場合は、ユークリッドの互除法を考えるところが最大のポイント。A＝BQ+Rの形にして、g(A,B)=g(B,R)と式を変えていきます。

※偶然にも2022年は東大、京大でも出題があり、まったく同じ原則で解決できました(東大はもうひと踏ん張り必要)。

話を戻します。3文字の対称式も、基本対称式で必ず表せます。東工大受験者なら、3つの2乗和、3乗和、4乗和ぐらいまでは知っておきべきです。これを先ほどのＡ＝ＢＱ＋Ｒの形とみなせればほぼ勝ち確定です。

a^2+b^2+c^2=(a+b+c)×(a+b+c)-2(ab+bc+ca)　なので、R=2(ab+bc+ca)とみなせます。

a^3+b^3+c^3=(a+b+c)×(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)+3bac　です。基本対称式だけにするならもう少し変形しますが、今回はこれでＯＫ。a+b+cで割った商と余りが分かり、R=3abcです。

なので結局、求めたい公約数は、a+b+c、2(ab+bc+ca)、3abcの最大公約数ｇということです。ｇに２や３以外の素因数が入っていたら、（1）に矛盾しますし、２や３の素因数が２つ以上あるようだと、やはり（1)の3数すべてに、その2つ以上ある素因数が入ることになります。

以上から、あり得るとしたらｇ＝１，２、３と２×３＝６の4つということです。存在の証明は、あとはあり得る１つでもを探せばOK。すべてあり得ます。

※KATSUYAの解答時間は22:57。(1)はなんかどっかで見たことあるような。。。なので流れは(1)(2)ともにそこまで考え込まずに出てきましたが、答案として丁寧に書くと時間は持ってかれますね。

第３問　【図形と式＋α】条件を満たす点Pの軌跡と領域の関係（C、40分、Lv.2）

数II、数III系の図形の問題で、条件を満たす点Pがどのような軌跡を描くかと、ある領域からは外れることの証明。小問で刻まれており、多少は手がつくのではないかと。

（１）はサイクロイドの時みたいに、ベクトルで辿るのがいいと思います。ＯＰベクトル＝ＯＡベクトル＋ＡＰベクトルです。角度αの場所に加えて、角度ｔの場所も特定しましょう。ＡＰベクトルは長さがcosα(APBが直角三角形であることを利用)、ｘ軸の正の向きとのなす角が180ー∠ＰＡＢ－∠ＢＡＯです。

式変形は、sin(90°＋θ)=cosθの公式を使いますです。90°系は苦手な人が多いですが、縦横ひっくり返るだけです。東工大受験者なら大丈夫でしょう。ｘ成分はさらに「積→和」、そしてもう一度「和→積」とを使うときれいになります。計算量は多めですね。

（２）は（1）でしっかり成分を出していれば、ＯＰ＝cos(ｔーα)　と分かりますので、この移動量がそのまま道のりになります。cosα→１まで増え、そこからsinαまで減少です。道のりなので∫|v|dt　の公式でも出ますが、この問題でそこまでするのはちょっと大げさかなと。

（３）は（２）でPの動きを図形的に見ていると分かりやすいですが、数式だけで攻めていると「急に何やこの問題は？」となります。Pの移動の仕方から、OPの最小値は両端のcosαかsinαです。45°を境目にどっちか変わりますが、ちょうどその最小値が領域の境界線上にあります。領域は境界を含まないので、ギリギリ領域内にはないということです。

図形的には分かりやすいのですが、論証なのでやっぱり時間持ってかれますね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は28:08です。（1）の式変形もまあまあ長く、（3）の論証は発想＋量ともにあり。重量級が続く感じです。

☆第４問　【複素数平面】1次分数変換、直径の存在範囲（CD、60分、Lv.3）

第１問に続き複素数平面で、またもや存在範囲の領域図示です。5問のうち2問が複素数平面かつ領域図示なのも驚きですが。第1問よりも輪をかけて式変形力、計算力が必要で本セット最難問でしょう。

（１）最初は入試問題としては典型的です1次分数変換の問題は、ｗ＝・・・の式をｚ＝・・・に直して条件に代入するんでしたね。文字ａが入るので式変形は繁雑ですが、東工大受験者であればこの計算は合わせたい。

なお、軌跡はアポロニウスの円になり、内分点と外分点を直径に持つので、この設定なら半径にルートが入ることはありません。したがって、式変形で最後の半径のところは、うまく何かの2乗になっていれば安心できますね。

なお、阪大理系でも類題が2022年に出題されました。(阪大はこれを出して終わり)

（２）が本セット最難問かと。問題文の表現が数学的に仕方ないと思いますが、分かりにくい。。。要は縦の直径の通過領域です。中心に対し、半径分だけ上下できます。なので、で求めた式の中心をｘ、半径をｙとおいたとき、その軌跡が領域の境界なので、軌跡の問題に帰着されます。

媒介変数の軌跡の問題は、とにかく媒介変数を消去することですが、これが今回、一筋縄ではいかない。a=・・・にできれば簡単に消去できますが、ａとa^2が混じっているため、なかなか消去できません。

実は、ｙの式の方は2乗するとa^2だけの式になります。ｘはもともとa^2だけの式なので、これでｘとｙだけにできますね。相当経験量が豊富でないと、そもそもこの発想が出てきませんので、この式からｘ、ｙだけの式にするのはかなり厳しいでしょう。

さらに繁雑な計算を経て、(その甲斐あってか)軌跡の式は比較的係数のおだやかな双曲線まで持ってこれます。あとは漸近線を添えて書けばＯＫでしょう。(漸近線はなくても減点されないと思いますが)

なお、最終手段(計算ごり押し)として、両方とも微分をして変化表を作る方法もあります(式的に煩雑でやる気が起きるかどうか)が、それだと双曲線になることが分かりませんので、形があまりにも双曲線から外れている図だとマズイでしょう。(白紙答案よりは全然いいですが)

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は39:20です。（2）の式変形はかなり考えましたが思いつきませんでしたので、上記は結果論です。私は、媒介変数の形からして2次曲線のどれかだろうと予想し、px^2+qy^2＝rx+sという形になると(ｘ軸対称なのでｙの1次の係数はないハズ)仮定して、強引にp,q,r,sを出してムリヤリ変形しました。

第５問　【微積分総合＋極限】解の存在、不等式の証明、ハサミうち（C、50分、Lv.２）

最後は数式主体の微積分総合で、ハサミうちによる極限も絡んでいます。確率密度関数を背景にしているものと思われますが、かなりみかけはごついです。それに惑わされず、丁寧に誘導に従っていけば（3）ぐらいまでは行けるかと。（4）の答案量は見かけ以上にゴツイ計算も入るのでまあまあメンドウ。

（１）はとりあえず積分しましょう。三角関数の積分は次数を下げるのが優先なので、積→和の公式を利用します。この値が１になればいいので、結局a+cos2a=1となります。これを満たすａの存在を示せばいいので、微分して増減を調べましょう。

微分した式は極値を持ちますが、極値をとるｘの値も出るのでそんなに難しくはないかと。あとは増減表を書けばｘ軸を1度またぐことがわかりますね。

（２）は簡単です。f(x)が単調増加なので、それを一言断って、あとはb≦x≦c で f(b)≦f(x)≦f(c)となりますので、各辺に∫(ｂ～ｃ)をつけるだけですね。

（３）まではなんとか正解したい。右辺の式と(1)の式を見比べると、i=１，２，・・・ｎで和を取ればいいことは分かると思います。左辺ですが、極限を取る前であっても、和をとればS(n,k,i)／ｋの定義からしても１です。各項は収束しますから、limの記号とシグマの記号は入れ替えられます(この断りは重要！)ので、これで左辺は１となり、（1）の式に一致しますね。

Sの定義をしっかり理解していれば計算もほとんどいらない問題でした。

（４）は、平均値なので、i×S(n,k,i,)/kとなります。ｉが入っただけなので、lim {i×S(n,k,i,)/k}も収束します。

An=lim A(n,k)=lim Σi×S(n,k,i,)/k= Σi×lim{S(n,k,i,)/k}　となります。先ほどと同じで、和の各項が収束するならlimは前に持ってきてもOK。

するとlim{　}の部分が（3）の定義から定積分になります。あとはこれをｉ＝1,2,・・・ｎまで足せばＯＫ。このタイミングで（2）の不等式を持ってきます。すると左辺、右辺ともに区部求積法が使えて同じ結果になるので、ハサミうちというわけです。

最後の定積分の計算にも部分積分が入り、定数ａも思ったよりうっとおしいです。最後まで気は抜けませんね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間34:11。東工大っぽくない感じ(市立大とかに出そう)。見慣れない題材において問題文に丁寧に従う力を見ている感じですかね。最後は答案的に結構しんどい＾＾；さくさくやらないと50分ぐらいかかるかと。