同志社大学 全学部理系 講評| 2022年大学入試数学

      2022/05/31

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(全学部理系)です。



2022年大学入試(私大)シリーズ。

同志社大学(全学部理系)です。



問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。



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同志社大学(全学部理系)

(試験時間100分、4問、ハイブリッド型)

※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。

1.全体総評~計算量が多く難易度高止まり~

昨年はかなり量が増えて難易度も上がりましたが、今年も同程度で難易度は高止まりです。小問が多くて誘導が比較的親切な問題構成になってますが、昨年同様に計算量が多く、時間内に終わらせるのはかなり厳しいでしょう。

また、今年も確率+BⅢ(ビーサン)出題で、Bは数列、ベクトルともに出題されています。

 

試験時間100分に対し、
標準回答時間は170分【154分】(←穴埋め考慮)

2021年:178分【162分】(←穴埋め考慮)

2020年:135分【121分】(←穴埋め考慮)

2019年は152分【137分】(←穴埋め考慮)

2018年は142分【126分】(穴埋め考慮)

2017年は166分【152分】(穴埋め考慮)

2016年は157分【133分】(穴埋め考慮)

2015年は120分【108分】(←穴埋め考慮)

2.合格ライン~計算だけでもしっかり合わせる~

第1問(1)の確率と漸化式はひとひねりあり、キー問題。(2)は全体のレベルを考えると、ある程度確保しないとまずい。最低「アイ」+「カキクケ」の6問。出来れば「コ」を抑えて7問。

第2問以降はどれも小問の誘導に素直に従えば解き進めることはできるが、計算が煩雑でかつ多く、最後の小問は難易度が高い。第2問(1)~(4)、第3問(1)(2)、第4問(1)(2)(3)をすべて抑えることができれば、時間的にもおそらく合格可能。

残った時間で、最後の小問をどれか1つできれば御の字でしょう。

難易度が高いというより、計算量が目立つので、時間との勝負です。このようなセットの場合は、考えすぎずに、手がつきそうなものをしっかり正答する方針に切り替えるしかないでしょう。55~60%ぐらいでしょうか。

 

3.各問の難易度

数学を解く上での原則は、緑色(この色)で表記しています。

☆第1問(1)・・・【確率+数列】カードの数字の和(BC、25分【18分】、Lv.2)

確率と漸化式からで、n枚のカートの和が偶数になる確率。関関立、MARCHでも大問になるようなレベルの問題を、平気でこの小問の穴埋めに持ってくるのが同志社理系です。

前半の二つは落ち着いてとりましょう。最初は「表→2か4」の確率、次は「0→2か4」、「1か3→1か3」、「2か4→0か2か4」となります。0を入れてはいけないところが、本問をややこしくしています。

「イ」は0を入れた場合を計算し、最後に2回とも「0」の場合を引くのもありです。こんな感じで解きます。

1回目で0か2か4(3/4)、1か3(1/4)と分けておき、2回目は前者なら0か2か4、後者なら1か3です。

従って、0が入っていいなら、偶数の確率は3/4×3/4+1/4×1/4=5/8

ただし、2回とも裏の確率は引かないとダメなので、5/8ー(1/2×1/2)=5/8

 

後半は確率と漸化式。3つの原則をセットでしっかり意識しましょう。

①n回目からn+1回目への遷移を詳しく見る ②求める確率以外の確率も考える ③確率は足すと1になることを忘れずに

今回は、2以上の偶数であることが本問を難しくしています。0になる場合も加えて漸化式を作ってしまうと、比較的楽です。上記の「イ」のときの考え方をすれば、簡単に漸化式を作れます。ここは差が付きそうですね。

漸化式は再頻出の4型ですので、特性方程式を作って等比型に帰着ですね。

 

※KATSUYAの解答時間は5:26です。確率と漸化式は個人的に得意なので、昨年よりは全然マシ。

 

第1問(2)・・・【複素数平面】(B、25分【17分】、Lv.1)

3年連続ここは複素数平面からの出題。今年は6点の決定と六角形の面積です。回転しまくっているだけなので慎重に計算すれば簡単に出せるはずです。全体のセットを考えると、ここで計算を合わせておかないと合格は厳しそうです。

原点中心の回転は極形式を掛ければすぐに出せます。原点以外の点を中心に回転する場合は、中心が原点にくるように平行移動→回転→もう一度平行移動して戻す(平行→回転→また平行、と覚えましょう)

最後の六角形ですが、BC、DEがx軸に平行なので、△ABC+四角形BCED+△DEFに分けるのがいいと思います。

※KATSUYAの解答時間は7:06です。

 

☆第2問・・・【2次曲線+数列】双曲線上の媒介変数表示、漸化式(BC、35分、Lv.3)

数列と2次曲線の融合問題で、がっつりBIII出題です。双曲線上のパラメータ表示された点について、とにかくごちゃごちゃ計算させれます。(5)が言いたいことなのでしょうが、(意図が分かろうが分かるまいが)(4)までは言われた通り計算すれば解けます。

なお、問題文的には双曲線の式のイメージですが、(5)が最終目標なら背景は「ペル方程式」でしょう。

 

(1)(2)はとにかく計算し、tに関する恒等式として係数を決定するだけです。計算は繁雑ですが、計算さえすれば得られますので、なんとしても合わせたいですね。

(2)が合えば(3)はサービス問題(?)(5)を考えると、整数であることの確認でしょうか。

(4)も計算するだけです。5p’^2-q'^2を(3)の式を利用して計算すれば5p^2-q^2が現れます。

(5)は発想も必要。nに関する証明なので、帰納法で証明することは何となくわかると思いますが、問題はそこからです。

第1段階として、9と4という係数が(3)に一致していることとrn、√5rnー1が(1)双曲線上にあることに気づけるかどうか。

第2段階として、(4)をうまく利用すれば「r_n、√5r_n^2ー1が整数→r_n+1と√5r_n+1^2-1も整数」を示せれば、あとは最初のr1=1、√5r_1^2-1=2 で帰納法となります。

このように、証明したいものだけでなく、不可欠なペアを用意することで証明する手法はたまに見かけますが、かなり難易度が高い帰納法です。

 

※KATSUYAの解答時間は26:01です。(4)までは計算がメンドウ+(5)は分かっていてもなかなか書きづらい。

 

☆第3問・・・【ベクトル】四面体上の2線分の長さ(B、35分、Lv.2)

空間ベクトルからで、四面体上にP,Q,R,S,Tを条件を満たすように置く問題です。こちらも誘導は丁寧ですが、計算が多めで大変です。

(1)はOA上の点、BC上の点を文字で表し、PQ^2を計算するだけです。OA上の点はOが入っているので実数倍で、BC上はOが入っていないので1-t、tなどの係数で設定します。直線は1次元ですので、1文字あればおけるはずです。

2変数の2次関数なので、まず1文字で平方完成、それから残りの文字で平方完成しましょう。

(2)は(1)がちゃんと出れば、それを代入して連立するだけで簡単に出せます。展開が結構面倒ですが、計算さえすれば終わりなので、ここも頑張って合わせたいです。

(3)は、RがPQ上にあること、PQに関するOB、OCの対称性から、SR^2が最小のときは、TR^2もTをSと対称な位置におけば最小になりますので、SRだけ考えます。

SRについては、この線分がPQ、OBの両方に垂直になるときに最小になります。これで(2)につながりますね。PQ上の点R、OB上の点Sを文字でおき、SRベクトルが(2)のx,yを代入したOA+xOB+yOCと平行になればOKです。平行=係数の比が等しいということですね。

第2問以降の中では、一番マシかと。それでも計算量はかなり多いです。

 

※KATSUYAの解答時間は25:20です。第2問に引き続き計算が・・・受験生キツイやろこれ。

 

☆第4問・・・【積分(III)】周期関数、置換積分、定積分の値(CD、50分、Lv.3)

第4問は、積分総合です。今年はほぼ微分は出ずですが、同志社は数式に偏った出題が多いです。今年もあまりグラフ的な要素はありません。

(1)はまた素直に置き換えて計算するだけですが、tanθ/2=tとおいてsinθやcosθを出すタイプは頻出。理系であれば三角関数の分数式の積分の際に用いますし、2022年では関西大(文)も出題がありました。同志社理系志望なら知っていないとマズイです。

あとはcosθをtに置き換えて計算するだけですが、形に合わせるように持っていくために、分子分母を(1+a)^2で割るところがややこしいです。最後まで計算は繁雑です。

(2)は周期関数の性質からして当たり前なのですが、一度経験がないとキツイと思います。0~cまでの積分と2π~2π+cまでの積分が等しいことはθ’=θ+2πの置換積分で簡単に示せます。あとは上端、下端をうまくいじって証明しましょう。

式だけを見るとθ+cとして置換したくなりますが、それでは周期関数であることを利用できないので、あくまでもθ+2πで置換積分することを前提にスタートする必要があります。

(3)は単純に代入するだけです。dθ/duは、置換積分する際の要領で出せばOK。分数に分数が入り込みますので繁雑ですが、慎重に計算しましょう。

(4)は本セット最難問です。散々置き換えまくってきましたが、この積分で必要なのは置換積分ではなく、(2)の周期関数の性質だけです。これでθーrの方をθに、cosθの方はθ+rにします。積分区間も変わりますが、(2)によって元に戻せます。

その後cos(θ+r)の方は加法定理で展開します。三角関数でこの形が出てきた場合は、加法定理で展開するのは常套手段です。

あとはf(θ)cosθ、f(θ)sinθの積分となりますが、前者を計算するのに、πh=1となる積分が必要になります。この結果を使えるように式変形する必要がありますが、かなり巧妙な式変形が必要で、ここまでたどり着くのはキツイでしょう。後者はlog型になりますので簡単です。

(1)(3)のような置換積分が(4)で必要かと思わせるような誘導なので、そもそも方針も思いつきにくいです。(1)(3)の操作は、hを出すためだけの計算です。hの結果だけを(4)に用いるわけですね。

 

※KATSUYAの解答時間は31:48です。(4)で正しい方針に行くまで+その計算にかなり時間を持ってかれました。これはかなりキツイ。

 

4.対策~数IIIの微積分は質の高い演習を~

微積分は必ず1題以上(1題+小問、or2題)の割合で出題され、中に極限が混じっています。実質、IIIはほぼ全分野から出題されると思った方がいいです(今年も複素数平面は登場しました)。残りは確率、ベクトル、数列であることが多いです。数学A、数学B、数学III という感じですね。

とにかく全体的に計算量が多いので、解答する途中で多少ややこしい計算が入ったとしても、折れずに答案を書きながら計算をしていく訓練をする必要があります。最近は質の高い問題が多く、入試標準演習の段階、高得点を狙うなら仕上げ段階にも手をつけたいです。

青チャートの例題は全て頭に入っていることは前提で、入試問題集に早くからあたりましょう。IIIの例題は、計算過程がメンドくさいものでもサクサク手が動くように、メンドウかつ頻出のパターンは繰り返し手を動かしておきましょう。

量:質=7:3 → 入試近くなったら4:6ぐらいがいいでしょう。

以上です^^

 

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