慶應大学 薬学部 講評 | 2022年大学入試数学

      2022/05/29

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶応大学(薬学部)です。


2022年大学入試(私大)シリーズ。

慶応大学(薬学部)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

 

★お知らせ★

Twitter始めました こちらもよろしくお願いいたします^^

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました^^ 原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。


 

慶応大学(薬学部)
(試験時間80分、3問、穴埋め型)

1.全体総評~以前の忙しさが戻り難化~

ここ数年は量的に穏やかな出題でしたが、以前の忙しさが戻りました。質もやや難化、量は大きく増えました。

下手に第1問で考える+計算スピードが十分でないと、第1問で制限時間に来てしまいそうなセット。第1問の小問よりも、第2問や第3問の方が時間さえあれば解けるものもあります。

うまく解けるところを選べば、点数的にはそこまで落とさずに済んだでしょう。


試験時間80分に対し、標準回答時間は146分【100分】

2021年は117分【78分】(←穴埋め考慮)

2020年は120分【82分】(←穴埋め考慮) 

2019年は116分【74分】(←穴埋め考慮) 

2018年は106分【71分】(←穴埋め考慮)

2017年は163分【110分】(←穴埋め考慮)

2016年は149分【97分】(←穴埋め考慮)

2015年は123分【82分】(←穴埋め考慮)

2.合格ライン

第1問:(1)はメンドウで、(3)(4)(6)(7)あたりはキー問題。12個中7個ぐらいは何とかほしい。
第2問は経験がないとall or nothingの可能性の高いキー問題。
第3問は最後以外はやることは単純で、計算もそこまでしんどくない。最後はQの座標も必要で、計算がメンドウ。あとは時間との兼ね合い。
第3問は基本的なので取りたい。第1問で7個未満+第2問で経験がないと厳しい。第1問で粘るしかない。65%ぐらいがボーダーでしょう。

3.各問の難易度

第1問(1)・・・【複素数】3乗の値(B、 15分【10分】、Lv.2)

今年も最初は複素数からです。3乗して-16+16iとなる複素数を求める問題。昨年同様、理系だと複素数平面の知識があるのでやりやすいが、a+biとおく方法だとまあまあメンドウなので、しょっぱなから差がつきそう。

※KO薬を受験する人は、(他の大学で数III不要でも)数IIIの複素数平面はやっておいたほうがいいでしょう。

 

第1問(2)・・・【方程式】解条件から係数決定(B、 12分【8分】、Lv.2)

今年も、この位置に方程式の問題で、解の情報から係数を決定する問題です。

x=3を満たすのでbの値が出て、さらにx-3で因数分解可能です。このタイプの解条件に関する問題は、(1次)×(2次)に因数分解→2次の方の解条件をDなどで判定するという流れですね。

さすがに典型パターンそのままの問い方ではありませんが、やることは同じです。

 

☆第1問(3)・・・【確率】部屋割りと確率(B、20分【14分】、Lv.2)

確率からで、3つの部屋に入って、1人になったら脱落という試行をくりかえします。本セット最難問は個人的にはここと(7)だと思います。

 

最初は簡単です。4人が(3,1)に分かれればOK。1人に着目し、「誰が」「どの部屋」に入るかで4・3通り。残った3人がどっちの部屋に入るかで2通りです。

次まあまあメンドウ。5人→●人→2人となる場合で、●=3か4となります。

5→3→2の場合は、(3,1,1)と入り、その後に(2,1)に分かれます。5→4→2の場合がメンドウで、最初が(1,2,2)か(1,4)、次に(1,1,2)に分かれればOK。

例えば、(3,1,1)の場合は、例えばAとBに1人ずつ入る場合は、Aに入る人5通り、Bに入る人4通りです。AB以外に、BCやCAがありますので5・4・3=60となります。

「誰が」「どの部屋に」を慎重に考えて掛け算しないと、過不足が発生しやすいタイプなので、「カ」の正答率はかなり低いと思います。

 

 

☆第1問(4)・・・【微積分】条件から2次関数の決定(B、12分【8分】、Lv.2)

微積分の問題で、定積値や面積から係数を決定する問題ですが、ほぼ使うのはほぼ積分だけです。

「x=ー2で極値を取り」と書いてありますが、2次関数なので、軸がx=2ということです。2次関数では、軸の情報があるなら平方完成の形で置くのが原則。f(x)=a(x+2)^2+bとおけます。

次の積分に関する方程式でb=-aも出ます。最後の面積条件でaが出るという順番です。面積は放物線とx軸なので6分の公式が使えますね。

なお、問題文に「すべて」と書いてあるのでヒントにはなってますが、a=±2です。2だけにしないように気を付けましょう。

 

第1問(5)・・・【対数+微分】対数方程式、3次方程式の解の個数(B、12分【8分】、Lv.2)

対数と3次関数が絡んだ融合問題です。絶対値も絡んでおり、第1問の小問としては質・量ともにバランスのとれた設定だと思います。

対数を式変形する際には、まず底の変換から行うのが原則です。底があっていないと、その他もろもろの公式(logM+logN=logMNなど)が一切使えません。まず底を10に合わせましょう。

底がそろったら、次は対数の足し引きか、掛け算割り算かをみます。前者ならまとめて1項に、後者なら対数=Xとでも置き換えましょう。今回は前者です。左辺を1項にまとめるとlogx^2|x-2|となりますので、結局与式はx^2|x-2|=aという3次方程式となります。

解の個数なので、定数分離してグラフを書いて視覚化ですね。すでに定数分離されているので、分かりやすいかと。絶対値がある分、グラフは少し時間はかかります。

 

☆第1問(6)・・・【三角関数】三角連立方程式(BC、15分【10分】、Lv.2)

三角関数に関する連立方程式で、難易度は少し高め。

最初のxの範囲も意外とミスりやすそうです。条件式と0≦siny≦1から0≦sinx≦1/2にできればOK。

次の連立方程式ですが、方程式の係数が今回のようにそろっている場合、あ2乗して辺々を足すとうまくいくことが多いです。(100%とは限りません)

さらに今回は、cos(x-y)=1となるため、x=yと1通りに決まるところも少しラクになっています。これが分かればすべての項が出ますので、sin(x+y)=sin2x=2sinxcosxとして出せます。

係数がそろってない場合は、siny=・・・、cosy=・・・でsinxとcosxだけの式にし、2乗の和=1とするのがいいでしょう。sinxとcosxについても、2乗の和=1なので、これと連立ですね。

 

 

第1問(7)・・・【空間図形】切り口の直角三角形の面積の最小値(BC、25分【16分】、Lv.2)

単元的には数Bの空間ベクトルのような感じですが、ベクトルはほぼ使いません。

三角柱の側面で切断したとき、切り口が直角三角形になるときの最小値を求めます。小問集合にしては、ぱっと見で方針が立ちにくく難しく見えますので、本セット最難問だと思います。思いつかなさそうなら逃げるのが吉だったと思います。

最小値の直角三角形はその平面に平行にずらしても面積は変わらないはずなので、一番低い点は適当にh、次がh+a、、最も高い点がh+a+bとでもおけば条件式がab=1とかなりすっきりすることが分かります。

ここまで出来れば、条件式からb=1/aの形が出るので、形から見ても相加・相乗の予想はつくでしょう。

これを、h、h+a,h+bと置いてしまうと見えにくくなるので、置き方もポイントになりますね。

 

※KATSUYAの解答時間は計31:32です。この小問集合で2021年のときの倍以上かかってますので、ここは明らかに難化してますね。

 

☆第2問・・・【式と証明+数列】二項係数の和(B、20分【14分】、Lv.3)

二項係数の和に関する問題で、頻出パターンですが、経験がないと最初から何を意図しているのがよくわからず、全滅に近い可能性もあります。具体的な値の(2)だけ取りに行く方針でしょう。

最初は、二項係数に関する基本的な等式です。これを覚えていない人が結構いるようですが、理系ならこの2つの式はほぼ必須です。特に私大受験者ならきちんと覚えておきましょう。

次は和から一般項を求めるので、a2=S3ーS2で、B3=T4-T3で出しましょう。計算はメンドウなので、先に(4)まで解き終わってからでもいいと思います。

Snはただの二項定理により、(1+1)^nです。k=0からではなく、k=1からなので注意。Tnについては、(1)に合った等式を使います。するとknCk=nn-1_C_k-1となります。これでΣを取れば、nがΣの前に出せるのがポイントです。

二項係数に多項式が絡んだ和の計算では、この等式を用いてシグマの前にnを出すのが原則です。

これでTnも出せますので、一般項bnも出せますね。

 

KATSUYAの解答時間は3:11です。これは知っていると簡単。

 

☆第3問・・・【データ分析】3次関数の接線、極値など(B、30分【20分】、Lv.2)

最後はデータ分析から。2020年にもKO薬では出題がありました。データ分析の単元からも少しずつ、いろんな大学で出題され始めています。ネタができ始めた?

データ系は時間をかけて計算すれば解ける問題が多いので、大目に時間を確保して確実に得点したいところです。(2021年のKO医のようなタイプはキツイけど^^;)

本問も計算すれば終わりの問題です。(1)のtの値は平均値から、標準偏差は平方根を取りましょう。なお、理系であれば29までの平方数は記憶しておく必要があると、繰り返し本サイトでも訴えています。本問ではこの知識が非常に役に立ちます。各項目の標準偏差が、2.8、2.0、2.4、0.7と一瞬で分かります。(2)、(3)までこれが活かせます。

(3)は平均値はあるので、相関係数だけ3つともやって、さらにその平均値まで出しましょう。あとは慎重に見比べればOK。

(4)は、改善を図りたい項目は、まず「舌触り」ということです。全部1ずつ上がったなら平均も1上がります。標準偏差というのは、散らばりぐあいです。全部1ずつ移動したなら、ヒストグラムがそのままごそっと平行移動しただけなので、感覚的にも変化はしないはずですね。

最後の平均値は、合計でどれだけ上がったか÷10を、平均値に足せばOK。標準偏差は、低かったものが高い点数に寄ってきているので、散らばり具合は小さくなっているはずですね。

(4)の定性的な意味を考察しておきます。「ハ」に当てはまらないとは、相関係数が比較的高い方なのに、評価が良くない項目ということです。したがって、改善を図ると最も効果の上がる項目と考えたということですね。

※KATSUYAの解答時間は7:11です。

 

4.対策~パターン問題を瞬時に見ぬき、素早く計算を~

出題分野は第1問によってかなりまんべんなく出ます。特に数学IIは微積を筆頭に、ほぼ全分野にわたって出題があります。あとは場合の数・確率と整数が絡みます。数Iからも、絶対値付き2次関数がよく顔を出します。データ分析も最近は要注意分野です。

計算量が非常に多く、分量に無理のある年が多い(ここ最近は穏やか)ですが、これを見ている志望者は、間違いなく計算練習をしてくるでしょう。レベル的には、原則習得には青チャートで十分でしょうが、レベルの高い重要例題でもすぐに方針が立つぐらいやり込んでおくべきです。

ここ数年は易化していますが、対策は難しい年のも含めて、「この難易度になる可能性もある」と思ってやっておいた方がいいでしょう。(特に今年のような量が出ると、甘い対策は危ないです)

最終段階は入試標準レベルまで欲しいですが、ここが第一志望の場合は、過去問を長年分手に入れて過去問演習を多めにやり、時間配分の作戦などを早めに立てましょう。

変な難問が出るわけではない(出ても捨てて問題なし)なので、Iの絶対値付き2次関数、A・II・Bを中心にまんべんなく量をこなしましょう。

量をこなす演習:じっくり演習=8:2ぐらいですね。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

>> 
2010年度

>> 2012年度

>> 2013年度

>> 2014年度

>> 2015年度

>> 2016年度

>> 2017年度

>> 2018年度

>> 2019年度

>> 2020年度

>> 2021年度

 

★お知らせ★

Twitter始めました こちらもよろしくお願いいたします^^

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました^^ 原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。

 - 2022年度大学入試数学 , , , , , , ,