京都大学理系数学講評 | 2023年大学入試数学

2023/03/01 2024/01/17

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●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾

いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。

２０２３年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２３年大学入試（国公立）シリーズ。
京都大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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YouTubeチャンネルです　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

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※今回は動画でもUPしてみました。内容はほぼ同じですので、お好きな方でご覧ください。第5問あたりは動画の方が伝わりやすいかもです。

京都大学（理系）
（試験時間150分、6問、記述式）

１．全体総評～難易の差が激しいセット～

昨年並みかやや易化で、例年で見ると穏やかな方だと思います。第1問～第４問が易しめで、第５問と第６問は難しめという問題で、真ん中ぐらいの難易度の問題がありませんでした。量的には昨年からさらに減って試験時間内に収まりそうな量になりました。

分野としては整数が出ませんでした。東大・京大ともに整数問題出ずで、かなり珍しいです。数IIIは微分法の第4問が軽め、積分の第5問は重めでした。

試験時間150分に対し、標準回答時間は139分。前半で貯金作って後半(第５問)にかけれそうですね。

2022年：150分

2021年：167分

2020年：185分

2019年：185分

2018年：230分

2017年：170分

2016年：185分

2015年：195分

2014年：175分

2013年：140分

2012年：187分

2011年：135分

2010年：152分

２．合格ライン

第１問～第４問をおさえ、第５問、第６問のどちらかを残り時間でどちらか１つでも取りたいって感じです。時間は割とあったと思うので、第5問をじっくり考えて解き切れば御の字でしょう。第6問は初見だと厳しい。というか悪問です。捨ててOK。こんなものを解くぐらいなら、第4問までを見直したほうがよっぽどいい。

医学部以外で４完、医学部なら５完ぐらいの高得点勝負かもです。

３．各問の難易度

第１問(1)【積分法(数式)】定積分の計算（A,5分、Lv.１）

今年の第1問は小問に分かれていました。最初は簡単な定積分計算です。波に乗ってくれ、ということでしょうか。

部分積分の優先順位を確認しておきましょう。対数は必ず後回しで微分する側です。

定積分の部分積分は符号をミスしやすいので、先に不定積分として出してから、一気に両端を代入するのが個人的にはおススメです。

※KATSUYAの解答時間は2:14です。

第１問(2)【複素数と方程式】多項式で割った余り（B,15分、Lv.２）

こちらの小問は(1)のような簡単さはなく、差がつくと思われます。

割る式がx^5-1の因数であることに気づけばかなり簡単です。x^2023＝x^2020・x^3となり、x^2020－１はx^5－1を因数に持ちます。(x^5=tとでも置けばすぐわかります)　なので、x^3(x^2020－１)も因数に持ちますので、元の式から引くとx^3-1だけが残り、3次なのでこのまま余りとなります。

※KATSUYAの解答時間は3:30です。x^2020-1がx^5-1で割り切れることは一応説明をしておきました。2024年に出せばx^4-1って出て、さらに割り算が必要になって引っ掛けれるけど、今年出したのね＾＾；

☆第２問【空間ベクトル】空間で直線が交わる条件（AB、18分、Lv.２）

空間ベクトルからで、四面体絡みの問題ですが、内積もないので比較的ラクな問題ですが、原則を5つ学べるので非常に演習価値がある問題ではあります。

点をいろいろ定めますが、要は空間上で2直線(PCとQR)がきちんと交わるように、Rの位置を決めましょうということです。厚物参考書系の応用問題にもありそうな問題です。

Principle Piece

空間における位置ベクトル問題(内積なし)

→始点を合わせて基準3ベクトルの式に

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 空間ベクトル p.25 参照）

2直線の交点ですから、１－ｔ、ｔの係数を用いて表せばOK。OD上のように始点Oが入っているなら、ただの実数ｋ倍として表せます。

Principle Piece

2直線の交点(始点あり)→k倍で設定

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 平面ベクトル p.39 参照）

Principle Piece

2直線の交点(始点なし)→1-s,sの係数設定

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 平面ベクトル p.39 参照）

必要な文字は3つですが、空間では3つの基本ベクトルの係数比較が出来ますので、条件式も3つ作れて、無事に解けますね。

Principle Piece

空間ベクトルの位置特定問題→3文字おいて式3作れ

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 空間ベクトル p.32 参照）

別解として、交点Xを導入せずに、P,Q,R,Cが同一平面上にあることを利用することも出来ます。RがPQC上にある条件として式を立てることが出来ますね。

Principle Piece

空間ベクトルの位置特定問題→3文字おいて式3作れ

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 空間ベクトル p.33 参照）

※こちらの問題は解説動画もあります。

※KATSUYAの解答時間は7:54です。これも割と瞬時に方針が立つかな。全体を考えると意外とこれが合否を分ける？

☆第３問【確率】サイコロの目の積が5,15で割り切れる確率（AB、15分、Lv.2）

確率の問題ですが、こちらは京大の確率とは思えない、超典型パターン問題です。

(1)に至っては教科書の例題にもあるかどうかアヤシイですね＾＾；

(2)は入試基礎レベルという感じ。目の積がpqの倍数パターンでは、余事象をベン図の和集合で捉えます。

Principle Piece

目の積がpqの倍数パターン：否定(補集合)を計算

（詳細は拙著シリーズ数学A 集合と場合の数 p.53 参照）

「15で割り切れる＝５で割り切れるかつ3で割り切れる」なので余事象は「５で割り切れないまたは3で割り切れない」となって、和集合を計算します。「割り切れない」の方が基本的にはラクですね。

こちらの問題は解説動画もあります。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は4：11。これはさすがに京大受験生にとっては基本では＾＾；

第４問【微分法】関数の最大値・最小値（AB、18分、Lv.1）

数IIIの微分法の問題で、関数の最大値・最小値を求めます。こちらも京大の問題としては易しめ。

関数自体はカタマリが見えやすい形なので、まずカタマリの取りうる範囲を求め、それからカタマリの関数としてもう一度増減を調べればOK。微分して増減を調べる作業が2回入りますが、単純な関数なのでそこまで大した手間ではありません。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は9:54です。ここまで全く手が止まることなく来ているが、この後が難しいのかな？

☆第５問【微積分総合】線分の通過領域の体積（BC、35分、Lv.２）

微積分総合問題で、条件を満たすような線分の通過領域の体積を求めます。様子はつかみやすく、xy平面上(またはxz平面上)における線分の通過領域をｘ軸回転させればいい事はすぐにわかると思います。

従って、線分の通過領域を求める方がメインの問題ですが、数IIで見かけるような簡単な境界線ではないので、通過領域の対策が薄いと苦しいかもしれません。

考え方は数IIの通過領域の時と同じですが、通過領域の基本原則に従います。

Principle Piece

範囲指定のグラフの通過領域の解法

（詳細は拙著シリーズ数学II 図形と方程式 p.102 参照　約7ページにわたって詳しく記載）

今回は最大・最小によるアプローチがいいと思います。第xz平面上でのPQの方程式をｔを使って表します。それを「ｔ」の関数として、ｘを定数とみなしてｔを０≦ｔ≦１で動かしたときの最大・最小の間を動きます。最大値の式と最小値の式が領域の境界になるわけですね。

領域が出たらあとは回転体の計算をするだけです。関数自体はそこまで複雑ではないですが、積分計算は慎重に。

こちらの問題は解説動画もあります。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は24:25です。急に京大っぽい難易度になってきた。

第６問【三角関数】cosnθをcosθの多項式で表す(チェビシェフ多項式)（Ｃ、35分、Lv.3）

最後は有名な題材を背景とした問題で、チェビシェフ多項式と呼ばれる、三角関数に関する多項式が背景にあります。京大理系受験者であれば演習している人もいるかもしれませんが、深く触れたことがないとそもそも(2)に挑戦することも出来ません。

難しい背景を知っていることで、少し有利になるような問題ならともかく、知らないと発想も厳しいタイプの問題は個人的には悪問だと思います。(2)は捨ててOK。そのにおいをかぎ取って、残りの問題の見直しに行けたかどうかが、合否を分けるでしょう。

(1)はヒントになっていますが、この2つの式では気づくのは難しいでしょう。cos5θまで出させるか、「cosθの最高次の項だけ答えよ」とかにすれば、少しヒントになったかもです。

(2)は、もしθがパイの有理数倍なら、ｎ倍したｎθはパイの整数倍になりますので、cosｎθ＝±１となります。ここで、cosｎθを多項式で表したら？と考えることになりますが、(1)からcosｎθをcosθの式で表したときの最高次の項を予想することが第一段階。初見だとここでもう厳しいと思います。

予想できたら帰納法で示すことが分かると思いますが、2つ前を仮定するオトトイ法ですし、これも知っていないとキツイかと。

これが無事に証明出来たらあと一息です。最高次の係数が2^n-1の多項式で、1/pを解に持つことはないですね。(因数定理の候補の時によく使う事実です)

あとはそれを証明すればOK。整数問題でよくあるパターンです。(拙著シリーズ『Principle Piece 数学A～整数～』p.89でも、一般的に証明しています)

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間15:19です。これはチェビシェフ知ってれば手が止まることはない気がするが、知らないとキツイのでは？ヒントがヒントになってない気がする＾＾；　正直、悪問。