一橋大学数学講評 | 2023年大学入試数学

2023/03/07 2024/01/18

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●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は一橋大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２３年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２３年大学入試（国公立）シリーズ。
一橋大学です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

★お知らせ★

Twitter始めました　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾　原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。

一橋大学については、動画でもUPしています。内容はほぼ同じです。

一橋大学
（試験時間120分、５問、記述式）

１．全体総評～どの問題も適度に差がつく～

昨年は前半と後半で難易の差が大きなセットでしたが、今年は平均的になった印象を受けます。また、人によって難化・易化が分かれる試験だったと思います。

従って、解法パターンを体系的にカッチリ習得している人からすれば、今年のセットは易化したと思えるでしょう。逆に、数学があまり得意でない人からすると、どの問題も完答できずに、昨年より難化したと感じると思います。

分野としては、ほぼいつも通りです。整数、微分、ベクトル、数列、確率＋数列で、一橋が好きな分野ががっつり出たという感じです。数列が2問出ているのが目を引きます。

試験時間120分に対し、標準回答時間は118分。時間的には、例年比で穏やかな方かと。

2022年：150分(後半2題で90分)

2021年：130分

2020年：115分

2019年：120分

2018年：138分

2017年：135分

2016年：130分

2015年：150分

2014年：145分

2013年：125分

2012年：135分

2010年：125分

２．合格ライン

今年はどれもキー問題になるでしょう。第2問、第3問、第5問は比較的ラクなのでこれで取りたい。第1問は整数なので差がつく。第４問は群数列の設定が出来るかどうかで大きくできが分かれそう。

3完分は欲しいtころ。６５％強ぐらいがラインかと思われます。

３．各問の難易度

☆第１問【整数】方程式を満たす整数解の組（B,25分、Lv.2）

今年も最初は整数からでした。二項係数が絡む方程式を満たすようなｎ，ｋを求める問題。見た目はとっつきにくく思えますが、二項係数を階乗の式で表します。ｎやｋが近い値なので、通分したり共通因数で割ったりすれば、それほど残らないはずですよね。

確率の最大値を求めるときに比を取る原則です。ほとんど項が残らないことを期待して方程式を整理しましょう。

Principle Piece

確率の最大値→確率の「比」をとれ

（詳細は拙著シリーズ数学A 確率 p.51 参照）

整理した方程式はｎ，ｋの2次式になります。整数問題の原則に順番に従うだけで解けるタイプです。まずは因数分解を試すんでしたね。

ULTIMATE Principle Piece

方程式の整数解全般：因数分解して約数候補

（詳細は拙著シリーズ数学A 整数 p.44 参照）

因数分解でうまくいかないなら、判別式Ｄを計算して実数条件で絞ります。

Principle Piece

方程式の整数解６：因数分解出来ないなら実数条件から絞る

（詳細は拙著シリーズ数学A 整数 p.86 参照）

判別式Ｄ＝n+2と出ます。実数条件で絞ることは難しいですが、これが平方数でないと整数になりませんので、これで一気にｎの候補が絞られ、ｋも出せます。

因数分解の判定に、2次の部分だけで因数分解できるかどうかを試すと、2次の部分だけでキレイに平方完成のようになります。これで、ｎ＋２が平方数であると判断してもＯＫ。

原則に忠実に従うだけですんなり解けるので、一橋にしては易しめかと思います。

※本問は解説動画があります。

KATSUYAの解答時間は12:18です。

☆第２問【微分法+２次関数】放物線と３次曲線の共通接線の存在条件（B、20分、Lv.２）

微分法からで、定数の入った放物線、および３次曲線が共通接線を持つようにする問題。最後に２次関数の問題に帰着されますが、ひな型の問題であれば原則習得系の厚物参考書にそのまま載っていそうな問題を組み合わせている感じで、パターン問題です。

まず、２曲線が接する問題のときは、両方とも接点を設定して求めるという原則に従います。

Principle Piece

2曲線の共通接線を求める→２つとも接点をおいて式作る

（詳細は拙著シリーズ数学II 微分法 p.61 参照）

もちろんこれで解いても全然解けますが、本問のように片方が放物線のときは、放物線でない方で接点を設定して接線の方程式を作り、放物線と接する条件を判別式で捉える方法も有効です。ここまで含めて、本問の解法パターンです。

拙著シリーズ『数学II Chapter 6～微分法～』でも、紹介しています。この手法をそのまま用いるだけですね。

このやり方に従えば、本問はＤ＝０の条件で済みます。それを整理すると、接点ｔに関する４次方程式となりますが、４次と２次の項しかないので、t^2=Xとでもおいて、0以上で少なくとも１つ解を持つ条件となります。定数がXの1次の項にしかついてないので、定数分離が威力を発揮します。

Principle Piece

少なくとも1つの実数解→定数分離してグラフで視覚化も

（詳細は拙著シリーズ数学I ２次関数 p.111 参照）

これによりａの範囲も出せます。

※本問は解説動画があります。

※KATSUYAの解答時間は9:34です。原則を組み合わせるだけの感じ。昨年前半ほどの易しさでないから、これでも多少は差がつくかな。

第３問【空間ベクトル】四面体の体積の最大値（B、30分、Lv.２）

固定されたＯＡＢと、球面上(および内部)を動く点Ｐに対して、四面体ＯＡＢＰの体積の最大値を求める問題。こちらもパターン問題で、概要文だけでも解法の方針が立ちます。

点Ｐはベクトル不等式で与えられていますが、Ｏを始点にすれば簡単に球面の内部だと分かります。従って、中心とＯＡＢの距離を求めて、それに半径を足したときが高さの最大値になります。同じ年の共テでも、この考え方を使う問題出てましたね。

平面のときに、円周上の点との距離は中心を考えるのと同じです。

あとは中心と平面ＯＡＢとの距離ですが、ここでOABがただのxy平面であることに気づけば、Pとの距離はｚ座標(の絶対値)と瞬時に分かります。普段であれば、平面上にあることをｓ，ｔの式で表し、内積ゼロの式を2つ作って連立するというあのお決まりのメンドウな手順が、本問では必要なくなります。これがなくなる時点で、本問はかなり計算量が減りますね。

中心と平面の距離が出たら、半径の６を足せば高さの最大値になり、あとはＯＡＢの面積を出せば終わりですね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は10:20です。これもパターンやし、距離一瞬で出るやん。気づかなくてもこれはおさえたい問題。

第４問【数列】2次元上に配列された数列、群数列（BC、30分、Lv.2）

座標平面の格子点上に数を順番に書いていき、どの座標に何が書かれているかを考察する問題。難しいという評価があるようですが、似たような問題が厚物参考書にもそのまま載っているはずです。(青チャート数Ｂなら、「自然数の表と群数列」というタイトルの例題を探してみてください)

ですので、この問題も(1)はただのパターン問題ですし、1問1答レベルだと思います。ちょっとやることが多いぐらいです。(2)はあることに気づかないと難しいかも。

(1)(2 3)(4 5 6)(7 8 9 10)・・・のように群数列に配置しなおせば、第N群はx+y=N+1上に下から配置されていることはすぐに気づけると思います。

従って、f(ｍ，ｎ)はx+y=m+n上にあるので、m+n－1群にあり(１ずれることに注意)、下から増えていくので、第ｎ項です。

あとは群数列の原則に従いましょう。1つ手前の群までは満タンですから、シグマ計算で項数を数えられます。残りは、m+n-1群のｎ個だけ足せばOK。これでｍやらｎやらを変えるだけで、f(m+1,n+1)もf(m,n+1)も出ます。これで(1)は終了。

(2)は(1)を利用すると、3f(m,n+1)+f(m+1,n)=2023となることはいいと思います。ここでまともにｍ，ｎの式に直した人は、ここからやりにくかったかもです。もう一度第1問のような整数問題を解くことになります。

ここで、f(m,n+1)とf(m+1,n)の差が１であることに気づけば、一気に難易度が下がります。どちらも同じ群にあり、ｎが１しか違わないので。

結局f(m,n+1)=506となりますので、506が第何群の第何項かを聞いているだけです。こう聞かれれば、ただのパターン問題ですよね。

何群かを出すときは、n(n+1)≒n^2の感覚を用いて見当をつけるんでしたね。まともに2次不等式は解かないように。群が出れば第何項目かもわかり、ｍ、ｎともに出せます。

KATSUYAの解答時間は19:35です。ただの群数列では？かなりパターン問題。(1)は全部m,nの式にするだけやな。(2)は最初ｍ，ｎでまともに解こうとして、いやなんかあるはずと思い、差が1であることに気づく。ただ第何群の第何項目を求めるだけの問題を、うまく言い換えてきた感じ。(2)は解けない人も多そう。