北海道大学 理系数学 講評 | 2024年度大学入試数学
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●２０２４年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(理系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２４年 大学入試数学の評価を書いていきます。
２０２４年大学入試（国公立）シリーズ。
北海道大学(理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
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こちらも、原則習得のための参考書です。
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Twitter始めました こちらもよろしくお願いいたします＾＾
北海道大学（理系）
（試験時間120分、5問、記述式）
１．全体総評～2021年以前の難易度に戻る～
2022年、2023年は講評以来TOP２の難易尾でしたが、そこから難易度が戻りました。どの問題も落ち着いて取り組めば完答出来そうな問題で、制限時間を考えてもかなり余裕があるのではないかと思います。分野的には、複素数平面の単元からの出題が無くなり、数Ⅲの割合も減りました。
試験時間120分に対し、標準回答時間は96分。昨年の2/3以下です。
2023年：155分(後半2つで85分)
2022年：150分(前半3問で120分)
2021年：110分
2020年：120分
2019年：150分
2018年：130分
2017年：110分
2016年：135分
2015年：125分
2014年：130分
２．合格ライン
どれも取ろうと思えば取れるので、120分以内でいかに答えをきっちり合わせて正答率を上げられるか。
今年は数学に関しては4完の8割ぐらいがボーダーかも。合計の最低点上がったら多分数学が原因でしょう。
３．各問の難易度
第１問【図形と方程式＋三角関数】三角方程式、軌跡（AB、18分、Lv.1）
媒介変数で表された2点に関する問題ですが、数Ⅲではなくただの三角関数と軌跡の問題です。
(1)はx座標もy座標も一致しなければいけません。どちらかで解いて必要条件を出し、もう片方も一致するものを探せばOK。ｔは一般角なのでそこだけ注意しましょう。どちらからでも解けます。
x座標で方程式を解くなら、臨機応変なcos2θを変形してsinθに合わせてましょう。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 三角関数 p.51 参照）
y座標で解くなら、sin2θを倍角で変形します。sin2θは変形は1通りしかありません。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 三角関数 p.53 参照）
(2)は(1)と無関係です。cosｔが消去出来て、そのままx=2y^2-1と出来ます。yの範囲もそのまま出ますので、軌跡は簡単に出せます。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 図形と方程式 p.52 参照）
※KATSUYAの解答時間は7:32です。今年はとりあえず最初はかなり簡単。数Ⅲかと思ったけどそんなこともなく。
第２問【確率】八面体サイコロと得点、条件付確率（B、20分、Lv.1）
八面体サイコロの出た目に応じて得点を決める問題です。若干計算は数値が大きいですが、普通の確率の問題です。
（１）は０点、1点、２点で分けるだけ。2点は1点が2回のときと、2点が1回の時に分けます。
（２）は条件付き確率。基本はこちらの原則です。
（詳細は拙著シリーズ 数学A 確率 p.27 参照）
MAXでも12点ですから、10点、11点、12点に分けて確率を出します。これが分母。分子は6回で17点以上ですが、10点からはムリ。11点からはMAXの6点、12点からは5点から6点です。
ちょっと数値の大きな分数ですが、8^6などもまともにやる必要はなく、約分で8^2まで小さくなります。そんなに場合分けも多くないので、これは正解したいですね。
※KATSUYAの解答時間8:01です。ほぼ手が止まることなく終了。問題文だけ長いから難しめかと思った＾＾；
☆第３問【数列＋積分】関数列の特定（AB、18分、Lv.2）
関数の漸化式に関する問題で、典型的な積分と数列の融合問題です。理系であれば数Ⅲの積分が絡むもっと難しい問題をやっているはずなので、出来るはずです。(拙著シリーズ 数学III 積分法 例題４７に掲載)
（１）はただの4型の漸化式です。
（２）は定積分を含む方程式に従うだけです。定積分は定数です。
（詳細は拙著シリーズ 数学I ２次関数 p.39 参照）
今回は定積分部分がn絡みではあるので、A_nとでも置けば、f_(n+1)の形が特定され、A_(n+1)とA_nの関係式が出来ます。(1)とつながるので、Anの一般項が出て、関数列も一般的に出せます。
※KATSUYAの解答時間は7:12。理系ならさすがに(1)いらなくないか＾＾；
☆第４問【平面ベクトル】三角形の内心、接点の位置ベクトルなど（AB、15分、Lv.1）
平面ベクトルの問題で、内心の位置ベクトルなどを求める問題です。難しくはないですが、(３)は平面図形の原則を合わせるとラクだったかも。
（１）はこちらの原則を意識していれば余裕です。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C 平面ベクトル p.25 参照）
条件式が３つありますから、自分が知りたい基本3量は出ます。ABベクトルの長さの式から、残りの式をあてはめるだけですね。
（２）は内心の位置ベクトルですが、内心の位置ベクトルは3辺さえわかっていれば内積はほぼ使いませんね。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C 平面ベクトル p.25 参照）
（３）は、接点までの距離OHさえわかれば、OHがOAの何倍か分かります。接点までの距離を出すだけなら、数Aの平面図形で学習するこちらの原則を用いるのが良かったでしょう。
（詳細は拙著シリーズ 数学A 平面図形 p.46 参照）
OHがOAの何倍か分かれば、あとは始点をOに合わせてOI－OHとするだけですね。
ベクトルで解くことも出来ます。OH=ｋOAとして、Hは接点なのでHI⊥OAでな内積ゼロとしてｋを出せばOK。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間7:19。今年は全体的にエライ簡単になった気がするな(すでに5番まで見ているので)。去年の4番の確率は何やったんや＾＾；
第５問【微積分総合】原点を通る接線、下に凸、面積（B、20分、Lv.2）
最後は微積分総合です。北大は(むずかった2年は例外)最後に数Ⅲの微積分を持ってくることが多いですが、その傾向に戻りました。本問は難易度も穏やかです。
（１）は曲線外からの接線ですから、直先に接点をおきます。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 微分法 p.15 図形と方程式 p.38 参照）
接線の方程式に原点を代入します。ｔは2つ出ます。ｔが正の方とは限りません。傾きを計算して、正の方を採用します。接点が出て傾きが出れば、切片は計算するまでもなく原点を通ります。検算のために計算してもOK。
(2)は2回微分するだけですぐに分かります。
(3)は上下関係さえわかればOK。(1)と(2)の結果から簡単に分かりますので、あとは積分するだけです。xlox(x+2)の積分はこちらの原則で多項式から変更します。
（詳細は拙著シリーズ 数学III 積分法(数式) p.12 参照）
ですので、モチロン先にｘを積分するんですが、ｘ＝1/2(x^2)'ではなく、x=1/2(x^2－４)’とすると、x+2を因数に持つため、後ろの被積分関数がキレイに約分されます。この手法は出来れば頭に入れておきたいところ。
慣れない場合は、ｘ＋２＝ｕとして、真数部分を主役にするように置換積分するといいです。
※KATSUYAの解答時間は13:57です。接線の式の計算を最後間違えた。(２)で図を書くときに接点のy座標が一致しないことで気づいて見直し。最後まで今年は簡単でした。なんか最後に計算ミスるんよなぁ＾＾；検算してよかった。
４．対策
頻出分野は数IIIからは微積と複素数平面(今年出ず)、あとは整数、確率、図形で、数列かベクトルはどちらか１問でると思われます(３年連続で両方出ました)。
北大は旧７帝大の中ではかなり標準的でしたが、2022年、2023年と難化しつつあります。過去問ではほとんどの年度がこれより易しいため、2022年、2023年の難易度を意識した対策が必要です。
もちろん、その前に原則習得はしっかり終わらせておきましょう。その後、入試基礎演習、入試標準演習の代わりに、過去問を用いてもいいと思います。
なお、拙著『Principle Piece』シリーズであれば「原則習得」「入試基礎演習」の両方の段階を兼ねていますので、この後にもう入試標準演習の問題集に接続可能です＾＾
また、東大や京大などの最難関を受験する人たちは受験初期に15年分ぐらい一気に演習してみてもいいでしょう。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでしょう。
以上です＾＾
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■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版！)■
数学A Chapter２～確率～ (第２問)
数学II Chapter３～図形と方程式～ (第１問)
数学II Chapter４～三角関数～ (第１問)
数学II Chapter７～積分法～ (第３問)
数学B・C Chapter１～数列～ (第３問)
数学B・C Chapter３B～平面ベクトル～ (第４問)
数学III Chapter４～微分法２～ (第５問)
数学III Chapter６～積分法(グラフ編)～ (第５問)
すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ！！
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