京都大学理系数学講評 | 2024年大学入試数学

2024/02/28

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●２０２４年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾

いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。

２０２４年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２４年大学入試（国公立）シリーズ。
京都大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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YouTubeチャンネルです　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

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※京大理系については動画でもUPしています。内容はほぼ同じですので、お好きな方でご覧ください。

京都大学（理系）
（試験時間150分、6問、記述式）

１．全体総評～昨年のような甘い問題が消えて難化～

難化です。というより、昨年が取りやすかっただけ、とも考えられます。昨年の１番～4番のような甘めのパターン問題がかなり少なくなり、京大らしい発想重視の問題の割合が増えました。そして、後半2題は昨年の難易度をほぼ維持しています。結果として、前回より難化し、得点の分散も大きなりそうなセットです。

分野としては整数が出ず(第4問？)、極限が6題中3題に絡んでくるという感じでした、分野的にはBⅢ＋確率(Bにベクトル含む)で難関大の超頻出構成ですね。なお、小問に分かれいてる大問はなくなりました。

試験時間150分に対し、標準回答時間は148分。(去年とあんまり変わんないんですよね)

2023年：139分

2022年：150分

2021年：167分

2020年：185分

2019年：185分

2018年：230分

2017年：170分

2016年：185分

2015年：195分

2014年：175分

2013年：140分

2012年：187分

2011年：135分

2010年：152分

２．合格ライン

第１問は早速キー問題になりそう。(1)は取りたいが、(2)はあることが思いつけばすぐに出来る。発想次第で瞬殺に近い問題のタイプ。

第２問は確実に取りたい。本セットで最も簡単で方針もたちやすい。甘めの問題はここだけ。

第３問は昨年と類似の題材で、空間上の2直線に関する条件。数値が無いので、差はつきそう。ベクトルを使うことは明らかなので、出来れば取りたい。

第４問は意外とキー問題かと。個人的には見かけ倒しに近いですが、漸化式の定め方を見て逃げた人もいるかも。

第５問は、計算がまあまあメンドウではあるが、(1)はおさえたい。(2)は原則も使えるが、計算も繁雑で発想もある程度必要なので、難しめ。

第６問は類題経験がないとまず無理だと思います。また、あったとしてもそのタイプの問題だと気づけないかもしれません。こちらも難しめ。

2番と5番の(1)はやることが明確。これをおさえ、１，３，４番で１完強であればしてボーダーぐらいか。医学部は+1完。昨年よりはかなり下がりそうですね。

３．各問の難易度

☆第１問【確率と極限】立方体の面に色を塗る（BC,25分、Lv.2）

最初は確率。波に乗せてもらえるのかと思いきや、(2)が発想重視でそうは問屋が卸さないと言った感じの問題。立方体のような回転対称性のある問題は受験生はそもそも苦手なので、そもそも避けた人もいそうですね。

(1)はコツコツ数えるだけですが、確率なので回転して同じになるものも別で数えます。部基本的に確率は同じものでも区別します。

Principle Piece

確率は同じものでも区別する

（詳細は拙著シリーズ数学A 確率 p.5 参照）

※このことについて、動画では詳しく話しています。京大理系志望なら理解しておいてほしいことなので、ご覧ください。

従って、全事象は4^6です。条件を満たすには最低3色は必要なので、3色と4色で分けます。全部区別して数えますので、むしろ数えやすいと思います。

(2)は(1)とあんまり関係ありません、というか(1)だけ見てると答えの予想がつかないかもです。結論から言うと１です。ほぼ6面とも違う色で塗られることがほとんどです。

適当に6人知り合いを思い浮かべましょう。誕生日が同じ人、いますか？みんな違った、と答える人がほとんどでしょう。n=365程度の大きさでも、ランダムに選んで6面に色を塗ったら、6面とも違う色であることがほとんどということです。従って、nP6通り以上の方法で条件を満たす塗り方はありますが、確率は1以下です。あとは挟み撃ちするだけ。5色。4色、3色も数えれなくはないですが、不要です。

※KATSUYAの解答時間は9:57です。(1)が(2)のヒントにあんまりなってない＾＾；(2)だけにしてたけど、点数あげるために(1)追加した？

☆第２問【複素数平面】条件を満たす複素数の存在領域と面積（AB、18分、Lv.２）

複素数平面からですが、本問が断トツで簡単でしょう。これが1番なら波に乗れた？

2つの複素数x,yがあり、１つは円周上、1つは円の周および内部です。その中点がどこを動くかですが、x,yは独立に好き勝手に動きます。みんなに自由に動かれると面倒見れませんから、1つずつ動いてもらうわけですね。

ULTIMATE Principle Piece

2文字が動く → 1文字固定で

（詳細は拙著シリーズ数学Ⅰ 2次関数 p.100 参照）

半径の大きいｙの方を固定する方が分かりやすいでしょう。円周上の点を中心にして、小さい円がぐるっと回るわけです。そのときの領域ですね。平均なので、全体的に尺を半分にすればOK。

面積も円と円の差なので楽勝です。ベクトルの分野でもよく見かける問題ですね(拙著にも収録してあります)

※KATSUYAの解答時間は7:40です。1番より全然カンタンだった。

☆第３問【空間ベクトル】空間上の2直線がねじれの位置にある条件（B、25分、Lv.2）

空間ベクトルからで、ねじれの位置にある条件を聞いています。京大は去年も空間上の2直線が交わるように内分比を定める問題が出てました。数値があまりなくてやりにくいかもですが、きちんと去年の問題で深堀していれば出来たでしょう。

※私も、動画でしっかり深堀りしています。

空間上で2直線がねじれの位置にあるというのは、同一平面上にないということです。従って、否定をとって4点PQXYが同一平面上にあるとした場合に満たす条件を考えればやりやすかったでしょう。

それはたとえばPY＝ｓPQ＋ｔPXみたいに表されるということです。このｓ、ｔが存在する条件です。文字は2文字ですが、空間ベクトルでは係数比較は3つできます。方程式の数の方が多い場合は、ちゃんと3つとも満たさないと解がないことになります。まさにねじれ判定のときの原則そのものですね。

Principle Piece

空間における2直線の判定 → 文字2つが3つの方程式を満たすかどうか

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 空間ベクトル p.30 参照）

これで、すべて満たすｓ、ｔが存在するときのｘ、ｙの条件を出すことが出来ます。否定を最後にとるのをわすれずに。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は11：21。なんか去年もねじれ出してたような。でも多分今年の方が正答率低そう。

第４問【数列＋整数】漸化式、ある項まですべて奇数である条件（B、20分、Lv.2）

漸化式からの出題です。一応奇数とかあるので、整数も入っている？問題としては、直前の項が偶数か奇数かでルールを分けるタイプで、見た目的には嫌な感じを受けますが、ただの見かけ倒しで、上の方は一切使わないというオチです。従って、それを見抜いて手を付けた人は確実に取れたと思いますが、漸化式だけ見て避けた人は損だったかもです。

結局、奇数である限りは、下の４型の漸化式のルールが定められますので、一般項を簡単に出すことが出来ます。(1)であればその一般項の式がｎ＝３まで、(２)であればｎ＝１０まで使えるということです。それ以降は分かりませんが、分かる必要もないわけですね。

一般項の式を見れば、偶奇の判定で簡単に(１)も(２)もa_0+1が２の累乗でないといけないと分かります。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は9:11です。上のルールいらん＾＾；　わざと見た目ややこしくしたな、これ。