東京大学 文系 数学 講評| 2024年大学入試数学
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●２０２４年度大学入試数学評価を書いていきます。今回東京大学(文系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２４年 大学入試数学の評価を書いていきます。
２０２４年大学入試（国公立）シリーズ。
東京大学(文系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
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YouTubeチャンネルです 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。
Twitter こちらもよろしくお願いいたします＾＾
※動画でも講評をUPしていますので、お好みでどうぞ＾＾
東京大学（文系）
（試験時間100分、4問、記述式）
１．全体総評～ほぼ横ばいで例年並みか～
昨年比ではほぼ横ばいで、例年通りかな、という感じです。昨年同様に手が付くであろう問題がある程度あります。最後の確率は文系には厳しかったかもです。なお、今年は文理共通問題はなし。
分野は微積総合、指数対数、図形と式、確率といった感じで、東大文系らしい分野です。ただ、指数対数からの出題はかなり珍しいですね。(50年近く指数対数オンリーからは出てないはず)
試験時間100分に対し、標準解答時間は88分。
2023年：90分
2022年：125分
2021年：140分
2020年：140分（４番を捨てれば８０分）
2019年：105分
2018年：95分
2017年：90分
2016年：100分
2015年：130分
2014年：95分
2013年：120分
2012年：100分
2011年：95分
2010年：95分
２．合格ライン
第1問は(2)までは標準的なのでおさえる。(3)は意外と方針に詰まるかもしれないので差がつく。
第2問は指数対数で(1)は余裕。(2)も2数の大きさの差に着目すればそんなに難しくないはず。取りたい。
第3問は図形と方程式でこれが一番簡単かも。図も全然複雑ではなく、計算量もそこまで多くない。完答したい。
第4問は受験生が苦手なタイプ。理系ででても差がつくと思われる。この手の問題は受験生は苦手で、文系の人にはちょっと厳しめ。
第２，３問と第1問の(2)までおさえて、残り時間でなんとか第1問の最後から第4問にくらいつければ確実にボーダーでしょう。2完半～３完弱ぐらいですかね。
３．各問の難易度
☆第１問【図形と方程式＋微積分】放物線と円が接する条件、面積の取りうる値（BC,25分、Lv.2）
数Ⅱの座標系総合問題といった感じです。係数はそこまで複雑ではないですが、(3)は少し発想も必要で、文系数学としてとてもいい問題だと思います。
(1)は出来るでしょう。接線が同じなら、傾きが同じです。円の方と放物線の方で2通りに傾きを表せばａ，ｂはすぐ出ます。あとは、(cosθ、sinθ)を通るという条件を使えばｃも出ますね。
(2)は(1)が出来れば出来ます。6分の公式利用でもいいし、まともに積分してもそんなに大してメンドウではないです。
(3)はその面積Ａが√３以上であることを示す問題。2乗すべきなのは思い浮かぶと思いますが、Ａ^2が分数式なので戸惑った方もいるかもです。
分数式の部分は分母が(sin^2θ＝ｓとおいたときのｓの)1次式であることに着目すると「＝ｋ」とおいてグラフで視覚化できます。これに気づけたかどうか。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 微分法 p.42 参照）
いくつか類題も動画で紹介しており、特にこちらの問題ではかなり似たような式をしています。このやり方と同じです。
視覚化するとｋは傾きで現れるので、ちょうど接するときが最小値と分かります。曲線外からの接線なので、もちろんこの原則。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 微分法 p.15 図形と方程式 p.38参照）
接するときの傾きを求めれば無事にＡ＾２が3以上と分かります。
なお、示すべき不等式の分母を払った後に左辺から右辺を引くというやり方でもＯＫです。こっちの方が思いつきやすいですかね。(私は先に上の方法が思いつきました）。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 微分法 p.48 参照）
なお、前者の方が「最小値を求めよ」でも使えるのでおススメ。
※KATSUYAの解答時間は12:12です。(3)は差がつくかな。
第２問【指数対数】不等式を満たす指数の条件（B、18分、Lv.2）
指数対数からの出題。東大は文理ともにかなり長い間指数対数オンリーでの大問を出していないので、かなり珍しい。その分もしかして対策が薄いと、意外と取れないかもですが、そんなに難しくないので取りたいところ。
(1)は常用対数を取るだけです。ただの算数問題。
(2)は、ある程度ｍが大きくなると2項の差が広がり、5^mに比べて4^mの方が小さいハズなので、「4^mなんて、そんなチリのような数字(5^mに比べれば、です。ここ大事)を足したところで・・・」と思えれば勝ち確。
(1)の答え28なら(2)も満たします。あとは1つ減らして27でいけるかどうかですが、5^mは1桁足りません。ここで最高位が必要になってきます。4^mのおかげで繰り上がる可能性があるからです。
最高位と言われていないけど最高位を求めるタイプです。(どっかの市販の問題集に普通にあったような・・・)
最高位は常用対数の小数部分に着目します。今回は小数部分から、すくなくとも８未満だと分かります。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 指数関数・対数関数 p.41 参照）
一方4^27は予想通り、桁が2桁ほど小さいです。これを足して5^mの最高位が2以上繰り上がることなんかないですね。
※KATSUYAの解答時間は6:55です。何かの問題集にめっちゃ似たような問題載ってて、生徒(文系の子です)に質問されたような？ 類題経験ないと意外と(2)出来ないのか？ でも文系数学の問題集のハズやし、まあ出来てほしい。
第３問【図形と方程式】条件を満たす点の関係、方程式・不等式など（AB、20分、Lv.2）
数Ⅱの図形からです。東大文系は数Ⅱの図形・グラフ関連好きですが、本問は本セットの中で最易問だと思います。
(1)はMQの傾きをθで表して直線の方程式を作り、ｘ軸との交点でもいいし、図形的にも全然アプローチできます(動画参照)。
(2)と(3)は(1)が出来ればほぼ余裕。そのままｑの式を使って計算しましょう。(2)は因数定理で、(3)はただの2次不等式なのですぐ解けますね。
※KATSUYAの解答時間は7:18です。なんじゃこりゃ？問題考えるの、ちょっとめんどくさくなった？それとも、別の問題用意してたけど、直前で不備発覚して、緊急で追加した？どっちにしてもちょっと簡単すぎるような。
☆第４問【確率】正ｎ角形の頂点から4点を選ぶ（BC、25分、Lv.2）
最後は確率からです。円に内接する正ｎ角形から4点選んで四角形を作りますが、その四角形が中心を含む確率です。円絡みで、さらにｎも絡むと基本的に正答率は下がります。理系で出しても全然試験になる問題で、本問は文系の人には厳しかったかもです。大学への数学の月刊誌で過去に2回ぐらい見かけてるんで、よくあるタイプではあります。円は試験作成側にとっては便利な題材です。なお、同じ2024年に一橋大でもほぼ同じ趣旨の問題が出ました。
まず、Oを含む場合より、含まない場合の方が特殊で数えやすそうだと思えるかどうかです。直径になる線に関して、すべて同じ側にいる必要があります。三角形でいえば鈍角三角形になる場合(←一橋大はまさにこれ)
そしてこの手の問題では、4つの頂点の間隔に着目するといいです。間隔をｘ、ｙ、ｚ、ｗとおけば、足してｎのハズです。しかし、Oが外に来るような場合は、どれか１つだけ、半周以上の間隔があいているはずです。
半周以上を具体的にするとn+1/2以上と出ます。１つがこれ以上ないとダメなわけです。ということは、残り３つの和がn-1/2以下となります。不等式を満たす整数解の個数は、1文字増やして重複組み合わせで考えられますよね。個々に帰着させることが出来れば勝ち。
（詳細は拙著シリーズ 数学A 集合と場合の数 p.47 参照）
（詳細は拙著シリーズ 数学A 集合と場合の数 p.70 参照）
これで整数解の個数が出ました。どれがn+1/2以上でもいいので、４をかけるのを忘れずに。あとは全事象で割ればOK。対称性から、選んだ点を１つ真上に固定しておくと見やすいでしょう。
※KATSUYAの解答時間は15:04です。あーこれは受験生苦手そう。文系には厳しいかも。原則通り頂点の間隔を数値化して重複組み合わせでいけるな。途中で「１ズレ」が起き、半分ぐらい書き直してロス。
４．対策
出題分野は、確率(漸化式と絡むことが多い)、図形、微積分です。４題中３題は傾向が固定されていると言えますので、比較的対策は行い易いと思います。
東大の問題はどれも質が非常に高く、かつよく考えられた創作問題といえます。パターンにはまった学習だけでなく、数学を本質から理解している人ほど点数が高くなるような試験になってます。標準問題のマスターは前提で、加えて質の高い問題、かつ、さまざまな方面から解説を行っている問題集でじっくり考える演習も必要です。
原則習得段階を確実に、かつ素早く行えるようになったら、入試基礎演習になるべく早い段階で入っていきましょう。多くの問題に触れることで様々な表現に慣れていくべきです。最終段階は入試標準演習で大丈夫だと思います。
なお、拙著『Principle Piece』シリーズであれば「原則習得」「入試基礎演習」の両方の段階を兼ねていますので、この後にもう入試標準演習の問題集に接続可能です＾＾
東大は文系の数学も単科で販売があります。理系同様、良問なので解法研究をこれで行うのがいいでしょう。
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(講評リニューアル版！)■
数学A Chapter１～集合と場合の数～ (第４問)
数学A Chapter２～確率～ (第４問)
数学II Chapter２～複素数と方程式～ (第３問)
数学II Chapter３～図形と方程式～ (第１問、第３問)
数学II Chapter４～指数関数・対数関数～ (第２問)
数学II Chapter６～微分法～ (第１問)
数学II Chapter７～積分法～ (第１問)
すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ！！
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■他年度の、本大学の入試数学■
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