早稲田大学 人間科学部(文系) 数学 講評| 2023年大学入試数学
2024/01/05
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●２０２３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は早稲田大学(人間科学部A：文系)です。
２０２３年大学入試（私大）シリーズ。
早稲田大学(人間科学部A：文系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
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YouTubeチャンネルです 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。
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早稲田大学（人間科学部A：文系）
（試験時間60分、5問、穴埋め型）
１．全体総評～昨年とほぼ変化なし～
昨年とほぼ変化なしです。方針が立たない問題はほとんどありませんが、計算が多い箇所もありますので、問題を見て瞬時に手を動かすことが出来れば時間内に終わるでしょう。
１つでも考え込んでしまうと一気に時間が来てしまうという、早稲田人科の数学の特徴は今年も健在です。
微積分の影がかなりうすく、数Bはベクトル、数列ともに出題。特に空間ベクトルは３年連続。
試験時間60分に対し、標準回答時間は88分【58分】(←穴埋め考慮)
2022年：90分【62分】(←穴埋め考慮)
2021年：106分【71分】(←穴埋め考慮)
2020年：101分【67分】（←穴埋め考慮）
2019年：87分【55分】（←穴埋め考慮）
2018年：61分【40分】（←穴埋め考慮）
2017年：83分【53分】（←穴埋め考慮）
2016年：99分【63分】（←穴埋め考慮）
2015年：107分【67分】（←穴埋め考慮）
２．合格ライン
第１問は小問３つですが、今年は落とせないです。
第２問も方針に迷うことはないハズ。落ち着いて正解したい。
第３問は空間ベクトルでキー問題。典型パターンですが計算量が多いので、合わせられるか。
第４問もキー問題か。傾きを表すことに気づければ瞬殺可能。
第５問もキー問題。意外とメンドウな漸化式。穴埋めであることを利用して強引に突破出来れば御の字。
人科の普段の数学(文系)の平均点を考えても、キー問題を1つでも取って3完でOKでしょう。
３．各問の難易度
第１問(1) [共]・・・【確率】2数が互いに素である確率（AB、8分【5分】、Lv.1）
選んだ2数が互いに素である確率を求める問題です。サイコロ2個のような問題ですので、もちろん全調査です。
（詳細は拙著シリーズ 数学A 集合と場合の数 p.3 参照）
全部で高々66通りしかありませんので、コツコツ調べます。組み合わせなので、順序は関係ないので注意。
なお、余事象を考える方が早いです。(私はまともに数えました)
第１問(2) [共]・・・【複素数と方程式】ω絡み、高次式の値（A、4分【2分】、Lv.1）
ω絡みの高次式の問題です。ωとは書かれていませんが、式を見ればほぼ明らかですね。
ω絡みの問題は、2つの等式を駆使すれば解決することがほとんどでしたよね＾＾
（詳細は拙著シリーズ 数学II 複素数と方程式 p.29 参照）
ω^20＝ω^18・ω^2=ω^2です。あとは後半の式を利用すればOK。穴埋めなら10秒ぐらいで解けます。
第１問(3) [共]・・・【対数関数】不等式を満たすｎの個数（A、4分【2分】、Lv.1）
対数不等式の問題です。
常用対数を使うのかと思いきや、底５の対数値が与えられており、そのまま使えますので、底を５とする対数を取りましょう。さすがに簡単すぎるのでは・・＾＾；
※KATSUYAの解答時間は計2:47です。2021年ぐらいの時間かな。去年の半分ぐらい。
第２問[共]・・・【対数関数】対数不等式（B、18分【12分】、Lv.2）
第1問(3)に続いて対数です。完全に連続していますが、こちらもほぼパターンです。
対数の式で気を付けるべきは、真数条件です。変形すると見えなくなることもあるので、まず真数条件を確かめましょう。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 指数関数・対数関数 p.32 参照 23年3月販売予定。）
ｘ＜２、16-x^2-y^2>0も入ってきます。これを忘れると個数を間違えます。
次に対数式を変形していきます。まず底は合わせます。そうでないと、もろもろの対数公式が使えません。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 指数関数・対数関数 p.24 参照 23年3月販売予定。）
今回は４にそろえるのがいいでしょう。真数が複雑な式の底にそろえた方が、その式を変形せずに済みます。3/2も、log_48と変形します。
対数は足し算ばかりなので、項をまとめてlogをけずりましょう。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 指数関数・対数関数 p.32 23年3月販売予定。）
領域は円の内部にありますが、こちらは境界を含みます。真数条件は境界を含まないので注意。
※KATSUYAの解答時間は4:00です。真数条件を忘れるなよ、という問題ですね。
☆第３問・・・【空間ベクトル】直線に関する対称点、2点間距離の最小値（B、20分【13分】、Lv.２）
空間ベクトルの問題で、直線に関する対称な点や、ねじれの位置にある2直線上の距離の最小値を求める問題です。空間ベクトルは3年連続、また昨年も対称点や最小値の問題でした。
直線に関する対称点ですが、Cから直線に下した垂線の足Hを出して、CDの中点がHであるとするのがはやいかと思います。
空間上で直線に下す垂線の問題は教科書レベルですよね。直線上の点を1文字で設定し、内積条件でその文字について解きましょう。
今回は「2点A,Bを通る」ですから、１－ｓ、ｓの係数設定がいいでしょう。ベクトル方程式の公式を用います。Dでミスすると後半も芋づるなので、慎重に。(私は一度ミスりました。)
後半は2つの直線上の点をそれぞれ別の文字でおきます。距離の2乗は2文字の独立した文字の2次関数になりますので、2次関数の原則に従うだけです。
（詳細は拙著シリーズ 数学I 2次関数 p.41 参照）
ねじれ2直線の距離のタイプ、教科書ワークにもあるような問題なのですが、やはり計算量が多いため、ミスによって差がつくのでしょう。そのためか、試験では見かけます。
※KATSUYAの解答時間は12:19です。最後の答えが形に合わず。(分数になってしまう) Dでミスった可能性があるので、ほぼ最初からやり直してみる。1か所符号を間違えていた。ほぼ倍の時間かかってます。
☆第４問[文]・・・【2次関数？】条件式下における最大値（AB、12分【8分】、Lv.２）
条件式として絶対値付きの2次式が与えられており、そのもとでy/xの最大値に関する吟味をする問題。聞き方が少し遠回しですが、ようはy/xの最大値を場合分けしなさいといっているのと同じです。
まず、y/x＝ｋとおくと、ｙ＝ｋｘとなり、比例のグラフです。これに気づけるかどうかです。
あとは、条件の式をグラフにして、原点と結んで傾きが最大になるときを調べます。接するときが含まれていくと、しばらくそこで最大になります。それがくずれるのは、その接線がもう一回ぶつかるタイミングですね。
グラフで視覚化することによって効力を発揮する典型パターンです。絶対値付き2次関数の問題は視覚化が有効なことが多いです。
（詳細は拙著シリーズ 数学I ２次関数 p.82 参照）
※KATSUYAの解答時間は2:08です。最近、文系専用問題の難易度が下がった気がします。
☆第５問[文]・・・【数列】Sn絡みの等式（BC、25分【18分】、Lv.2）
最後は数列で、Sn絡みの等式から一般項を求める問題。典型手法によって一般項を出そうとしても意外とつまづいてしまい、うまくいかなかったのではないでしょうか。
Sn絡みの漸化式は、ｎを１つずらして辺々を引きます。
（詳細は拙著シリーズ 数学B 数列 ※販売予定(23年2月現在)）
辺々を引くとSの項は消えて、一般項だけが残り、漸化式が作れますが、今回は(ー１)^nという項のせいで、すっきりしないです。このような項があるときは、偶奇で分けてみるのがいいでしょう。偶奇で分けさえすれば符号は全部決まります。
ｎが奇数のときの方が簡単に出せます。それを利用して、ｎが偶数のときを調べれば出せます。結局、符号違いのものが奇数項と偶数項で交互に現れます。
穴埋めなので、ｎ＝１，２，３…あたりを入れていって出すことも出来ます。数列は「自然数」を扱う単元なので、小さい数字で調べて予想することも常に頭に入れておきましょう。
（詳細は拙著シリーズ 数学A 整数 p.15 参照）
ただ今回は、意外と項を順番に出しにくく、苦労したかもしれません。n=3、n=4のときを代入することで、a_2とa_3の連立方程式が得られます。この後も同様です。
強引に出せれば、答えの形から等比数列なのは明らかですので、強引にa_2とa_4だけ見れば出せます。本質的ではありませんが、このような対応力も、穴埋め形式の試験では欲しいですね。
※KATSUYAの解答時間は9:03です。偶奇で分ける際に指数をミスり、検算のため小さい数字で求めた項と合わずやり直して終了。検算は大事です！！
４．対策～確率＋IIBを中心に典型パターンを反復練習～
内容的には、1歩進んだ典型パターンが多めです。原則習得パターンを組み合わせるか、少しひねった問題という感じ。制限時間との勝負になりますので、数列の規則性の発見(2年連続で通用する手法)など、穴埋めならではの飛ばし方も練習しましょう。
文系はIIの微積(最近影薄いですが・・・)、三角、指数、対数、数列、ベクトル、確率あたりがよく出ます。
学習対策としては、原則習得タイプ→入試基礎演習レベルまでやれば、過去問は手がつきます。原則習得タイプは、問題を見た瞬間に方針が立つぐらい繰り返しやるか、そのレベルでいろんな問題に当たりましょう。さらに安定させたい場合は、入試標準演習までやりましょう。
なお、拙著Principle Pieceシリーズであれば、「原則習得」と「入試基礎演習」の段階を１STEPで終了させることが出来ます。それが実現できるように編集してあるのが、本シリーズです。
量をこなす演習：じっくり演習＝10：０でOK。
以上です＾＾
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版！)■
数学I Chapter３～２次関数～ (第４問)
数学A Chapter１～集合と場合の数～ (第１問(1))
数学A Chapter２～確率～ (第１問(1))
数学II Chapter２～複素数と方程式～ (第１問(2))
数学II Chapter５～指数関数・対数関数～ (第１問(３)、第２問)
数学B・C Chapter１～数列～ (第５問)
数学B・C Chapter３B～空間ベクトル～ (第３問)
すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ！！
※2023年末時点で販売中のもののみ記載しています。最新販売情報はこちらからどうぞ＾＾
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