東北大学 理系 | 2021年大学入試数学

   

●2021年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2021年 大学入試数学の評価を書いていきます。

1ヶ月ほどバタバタしており、大幅にエントリーが遅れてしまいました。

2021年大学入試シリーズ(国公立)シリーズ。
東北大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





東北大学(理系)
(試験時間150分、6問、記述式)

1.全体総評~昨年の反動で難化~

大きく易化した昨年からは難化しましたが、これで例年並みぐらいです。

全体的にうまく練られた融合問題が多く、どの問題も差が出る可能性があります。前半4つはIAIIBから、数学IIIは第5問、第6問の2題です。IIの積分、IIIの積分ともにありますので、このあたりで計算量は膨らみます。



試験時間150分に対し、
標準回答時間は155分

2020年:125分

2019年:190分

2018年:185分

2017年:170分

2016年:135分

2015年:178分

2014年:185分

2013年:155分

2012年:170分

2011年:140分

2010年:200分

2.合格ライン

第1問は文理共通。典型パターンとはいえ慎重に場合分けして押さえたい。

第2問も誘導通りに進めばそんなに難しくはないはず。

第3問は場合の数で共通問題。(3)は差が出そう。

第4問は(1)(2)までは行けるはず。(3)は量が多めで差がつくか。

数IIIの第5問、第6問はキー問題。どちらも食らいつけるところまでいき、1完分取りたい。


最初の2問を両方確保し、第3問~第6問で2完分をかき集められれば余裕でしょう。65%あれば十分か。

3.各問の難易度

☆第1問 【2次関数】解の存在範囲(B,20分、Lv.2)

最初は典型パターンで、x軸の正の部分と共有点を持たない条件です。aの符号が不明な分、場合分けが多くなっていますが、やることは変わりません。

解の存在範囲では、①判別式、②軸の位置、③端っこでの符号を調査すれば解決しますね。a<0のときは、定数項が+1であることから、正と負の部分で1つずつ解を持ちますので、不適だと分かります。

従って、a>0の場合で上記①~③を調べればOKということになります。解がそもそもない場合、解はあるけど正の部分で共有点がない場合の2つにわけられますね。

 

※なお、予備校さんの解答を見ているとa=0を含めているものが多いですが、問題文に「曲線」とありますので、私はa=0は考えないことが前提であると解釈しています。

 

※KATSUYAの解答時間9分。典型パターン。aの符号が不明な分、ちょっとメンドウな感じかな。あ、でも負のときダメやん。ちゃんと調べたかどうかを見てるってことかな。

 

☆第2問 【平面図形+整数+関数】2変数関数、面積比の値が整数になる条件(B、25分、Lv.2)

三角形の中に三角形を作り、その面積比を求めてから整数問題に絡めた問題です。うまく融合されていると思います。

(1)は外側3つの三角形を引きましょう。面積比の公式を利用すれば簡単に出せます。

(2)は2変数が動くので、1文字固定が良かったと思います。bを固定すると、aに関する1次関数です。1次の係数b-1/2は負なので、a=1/2のときの値<T/S<a=0のときの値 となります。左辺は1/4で定数、右辺は今度はbの関数としてみれば、b=0で最大だと分かりますね。

(3)は(2)から、あり得る数値は3しかないと分かります。あとはa,bをp,qに書き変えて分母を払います。pq-3p-3q+6=0なりますので、原則(x-●)×(yー■)=整数の形に変形するのが原則ですね。

※KATSUYAの感想:解答時間15分。ベクトル?いや違うわ。ただの面積比やわ。(1)は算数にありそうなパターン。(2)2変数ある。どっちも1次やし、固定すればかなりラクかな。(3)(2)で3しかないのか。あとはp、qに変えて原則使って終了。

第3問 【場合の数】二等辺三角形などの個数(B、20分、Lv.2)

正八角形の頂点を結んで出来る三角形や四角形の個数を聞いています。ワークにありそうで、でもひねりがちゃんとある問題です。文理共通ですが、理系であればなんとか全部取りたいところです。

(1)は、外接円の直径に当たる部分があればOK。直径の選び方、残りの頂点の選び方で解決します。

(2)「・・・でも・・・でもない」という文章から、補集合の考えに行きつけばここまでは取れるでしょう。ベン図的なものを想像し、(1)の結果と、二等辺三角形、直角二等辺三角形を求めればOKです。二等辺三角形は、頂角の選び方、残りの2頂点の選び方で行けますが、「正三角形になることはないので、重複がない」と断っておいた方がいいと思います。正多角形のタイプは重複チェックを常に心がけてください。

(3)は、4点から2点を選んだ時に、それがどれか1つでも直径になっていればOKです。なので、さきに直径似なる2点を取ればOK。残りの2点の選び方は6C2=15通りです。ただし、残りの2点を結ぶと直径になっているものは2回かぞえることになりますので、1回分引けばOK。

※KATSUYAの解答時間9分。(1)は楽勝。(2)も表現から明らか補集合。(3)は直径が入ってればOK。残りの点を選ぶ。正多角形タイプは重複チェック。残りも緒っけになったらかぶるから、それを引く。

☆第4問 【微積分(II)+図形と式】中点の軌跡、線分の通過領域の面積(BC、35分、Lv.2)

後半から骨のある問題が続きます。最初は数IIの微積分です。線分の中点の軌跡や、線分の軌跡の面積を聞いてきます。

(1)はa以外の2交点のx座標が解となる2次方程式★を求めます。x^3-x=a^3-aを連立し、x-aを因数にもつのは明らかなので、x-aで割りましょう。求めたいのは、中点です。中点の軌跡と言えば解と係数の関係の利用ですね。

(2)は(1)の軌跡です。どちらもaで表されています。媒介変数表示では、媒介変数の消去をしましょう。

注意すべきは、aの範囲です。(1)でもとめた2次方程式★が、a未満の異なる2実数解をもつことが条件となります。第1問と同じようなことを、この小問の中でやらされるわけですね^^; まあまあ量が多いです。

(3)は線分の通過領域です。領域の問題のように解くとなるとしんどいので、図形的に考えましょう。Pは元の曲線上、Sは(2)で求めた曲線上です。このことを利用してPSの通過領域を判断しましょう。a=1のときの直線と曲線との交点など、細かいところにも気をつけなければいけませんので、計算量は多めです。 交点が全て出れば、面積計算はそこまでメンドウではありません。

※KATSUYAの感想:解答時間28分(3)を求めているときに、領域が明らかにおかしい?(2)のaの範囲が間違っていることに気づいた。(2解がa未満とすべきところを、2解がaでないとしていた)(2)からやり直しでかなり時間ロス。

☆第5問 【複素数平面+微分法】二等辺三角形の面積の最大値(BC、25分、Lv.2)

2年連続で第5問は複素数平面で、最後に微分が絡んできます。東北大は複素数平面が旧7帝国大の中でも好きなようです。

(1)は一直線上なので実数倍利用です。ベクトルと一緒です。

(2)は、どの2辺が等しくなるかで3通りやれたかどうかがポイントです。それぞれの計算自体はたいしたことないですが、3通りやらないと(3)がほぼ解けません。

(3)は、3通りの場合について、△OABの最大値を求め、それを比較することになります。明らかに原点から遠いzがよさそうですが、明快に述べる方法が思いつかないなら全部やった方が早いです。

単位円上にある場合は、明らかにθ=60°のときです。中心が1の円周上にあるときは、OA=2cosθ、OB=4cos^2θ、間の角θとなります。あとは式を作って、微分して増減表かけばOK。直線上にある場合は、|z|≦1が言えるので、最初の単位円上にあるときと同じ最大値となります。

以上から、微分して求めたものが全ての場合の最大値と分かります。

※KATSUYAの解答時間13分。(1)は実数倍利用。(2)も3通りやるだけ。(3)も3通りとも最大値出せばいいかな。まあ円が遠い場合やろう。その分、式は一番メンドウ。これは微分をせんとムリと判断し、微分して終了。複素数平面+微分できたか。

☆第6問 【積分法(数式)】eの性質、定積分と不等式(BC、30分、Lv.2)

最後は本格的な数IIIの積分法から。これも2年連続。自然対数の底eの表し方の問題となっています。

(1)はnに関する証明ですので、帰納法による証明がいいでしょう。n=kからk+1にする時の証明では、定積分の扱いがポイントになります。定積分でnからn+1にするときは、部分積分を用いることが殆どで、今回もこれでうまくいきます。部分積分は、指数と整式の場合は指数の部分を先に変形していきましょう。

計算量も決して少なくなく、原則も多く、差がつきやすい良問といえます。

(2)は定積分と不等式。両端の式をじっと見比べて、どのような式を積分するか(被積分関数の不等式)を考えます。右端にe^aがあることから、積分区間0≦x≦aでe^0≦e^x≦e^aが思いつけば勝ちです^^

(3)は(2)を利用するだけです。階乗の値は、理系であれば10!まで、文系でも7!ぐらいまでは計算不要で知っておいた方が、計算がラクにある場面は多いと思います。

 

なお、これにより、(3)にある階乗の式の和の収束値がeになることも証明できます。eの式の証明方法として、本問はまるごと繰り返し演習する価値ありです。

 

※KATSUYAの解答時15分。最後が積分なのはいつものことかな。(1)帰納法と部分積分でうまく出来た問題。(2)もさくっと被積分関数を思いついて終了。(3)は式の形~見ても両方利用するだけ。収束の速さを物語っていますね。全体的に融合問題多かった。良問セットかな。

4.対策

たまに非常に難しいセットになることが多いですが。例年は標準レベルの問題が出題されます。2020年はちょっと易しい気がしますので、このレベルの対策はちょっとあぶないです。

ひとひねり加えられたり、融合的なものが多いですが、やることは典型的なものが多いです。

頻出分野は微積分、確率、整数問題、図形です。さらに複素数平面が2年連像出題。計算量が多いものも出ますので、素早く確実に解けるようにしましょう。

パターン問題を習得したあと、入試問題の表現に数多く触れることが大事ですね。最終段階は入試標準レベルでも大丈夫ですが、不安な場合は仕上げ段階まで行いましょう。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

東北大は単科長年タイプのものもありますので、過去問対策はこちらでもいいでしょう。

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