東北大学 理系数学 講評 | 2023年大学入試数学

      2024/01/18

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●2023年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2023年 大学入試数学の評価を書いていきます。

2023年大学入試シリーズ(国公立)シリーズ。
東北大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。


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YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。




東北大学(理系)
(試験時間150分、6問、記述式)

1.全体総評~最後を除けば標準的なセット~

昨年に比べて、やや易化です。最後だけ計算量が膨大ですが、それ以外は東北大としては標準かそれ以下で、例年に比べても点数を稼ぎやすいセットだと思います。とはいえ、少しレベル高めのパターン問題が多めなので、試験としては十分差がつくでしょう。

数IIIは普段は後半2題に来ることが多いですが、今年は第2,4,6問の3題です。残りは確率、数列、ベクトルです。難関大以上でよくみられるの確率+BIII(ビーサン)出題ですね。

試験時間150分に対し、標準回答時間は158分。

2022年:168分

2021年:155分

2020年:125分

2019年:190分

2018年:185分

2017年:170分

2016年:135分

2015年:178分

2014年:185分

2013年:155分

2012年:170分

2011年:140分

2010年:200分

2.合格ライン

第1問は文理共通の確率でこちらは易しめなのでおさえたい。

第2問はキー問題。少しレベル高めのパターン問題なので差はつきそう。

第3問は漸化式。(2)は(1)の整理に仕方では思いつかない人もいそうだが、これはおさえたい。

第4問は複素数平面。東北大受験生なら経験済みのはずなのでおさえたい。

第5問は空間ベクトル。同じような計算を2回やらされるがパターンなのでおさえたい。

第6問は微積総合。計算量が膨大。Sの概形が正確に書ければ御の字。時間的には余っているはず。


第1,3,4,5問は取れる。第2問までしっかり合わせれば第6問をまるまる捨てても大丈夫でしょう。今年は70%ぐらいないと安心できない。計算量の多い第5問や確率を見直してかっちり合わせる。

3.各問の難易度

第1問 【確率】玉の取り出し(AB,18分、Lv.2)

玉の取り出しに関する確率。AとBが交互に玉を取り、Aが赤またはBが白を取れば勝ちというルールです。小書いていくと分かりますが、ほぼ取り方は決まっています。

なお、確率の問題なので玉は区別するのが原則です。例えば、最初に赤を引く確率を4/9とすると思いますが、それはすべての玉を区別していると考えていますよね。

(1)は白から始まり、交互に引く場合しかありませんね。

(2)も書いてみると、Aが勝つまでの引き方は確定ですので、くじ引きの時の要領でひたすらかけ算を繰り返すだけです。

 

※KATSUYAの解答時間は9:58です。書いてみると見掛け倒しでこれはおさえたい。

 

☆第2問【三角関数+極限】三角方程式の解の個数に関する極限(B、20分弱、Lv.2)

三角方程式の解の個数のうち、特定の整数以下のものの個数に関する極限です。ガウス記号に関する極限のパターンですが、経験がないと思いつきにくい問題です。

(1)の三角方程式はいいでしょう。和積でもいいし、3倍角で変形して因数分解でもOK。どれでも出ます。

和積を用いる場合は、三角方程式の形が以下の場合であることを意識します。

 Principle Piece 

 「角度が大きい」「種類が同じ」「1次」→和積のサイン

(詳細は拙著シリーズ 数学II 三角関数 p.65 参照)

 

3倍角による展開は、角度と種類を統一するための操作ですね。

 Principle Piece 

 三角関数の式変形 → 種類と角度をそろえる→無理なら次数か係数を

(詳細は拙著シリーズ 数学II 三角関数 p.50、80 参照)

原則さえきちんと押さえていればいくらでも方法はあります。

(2)は経験の差が出そうです。解はπ/2のk倍ですから、これがm以下になるようなk≦2m/πです。これを超えない最大の整数がp(m)ということですから、ガウス記号の出番ですね。

ガウス記号絡みでは、こちらの不等式を活用することで99%うまくいきます。

 Principle Piece 

 ガウス絡み → x-1<[x]≦x で範囲を絞る

(詳細は拙著シリーズ 数学A 整数 p.91 参照)

こちらは整数の原則ですが、極限でも同じ。この不等式によって両端からガウスが消えますので、mで割って極限を取ることが出来ます。ガウス絡みの極限はハサミうちが原則です。 

本問は解説動画があります。

※KATSUYAの解答時間は6:12です。(2)はガウス持ち出せば簡単やけど、経験で差が出そうな問題。

 

☆第3問【数列】漸化式、数列の和(B、20分、Lv.2)

漸化式の一般項を求めたり、和が0になるように初項を決める問題。漸化式の形は原則習得系の参考書であれば掲載されているものですが、レベルは高めのパターンです。

(1)この手の漸化式は、(私は10型と呼んでいますが)、添え字部分の大小や、それにかかっている多項式の大小を見て、両辺に何かをかけたり割ったりすると「1ずれ」の式に出来ます。

今回は見えやすいです。n+1をかければ左辺の数列項を右辺の数列項が1ずれになり、置き換えられます。置き換えた式は階差型なので、シグマを取りましょう。

(2)は意外と差が付きそう。sが入っていてややこしく見えますが、分数式は帯分数表記が原則ですので、帯分数表記にすると見えます。

 ULTIMATE Principle Piece 

 分数式は「帯分数表記」に

→ 「分子の次数」≧「分母の次数」なら割り算を

(詳細は拙著シリーズ 数学A 整数 p.85 参照)

割った商は1、余りの部分も定数のみなので、部分分数分解で和を出せます。これでsとmの関係式が作れますね。

※KATSUYAの解答時間は8:56です。これもただのパターンかな。このタイプ、受験生ちょっと苦手そうやけど。

 

☆第4問【複素数平面】1の5乗根絡みの式の値(B、25分、Lv.2)

数IIと数IIIの複素数からで、1の5乗根絡みの問題です。頻出パターンなのでこれは出来てほしいですね。

(1)はx^4+x^3+x^2+x+1実際に(実数係数の範囲で)因数分解するのが思いつきやすい気がします。相反方程式なのでx^2で割り、x+1/xの2次式とみなせば、解を利用して強引に因数分解できます。x^2をかけて戻せば片方にf(x)が出ます。

 Principle Piece 

 相反方程式 → 真ん中の次数で割って x+1/x の式に

(詳細は拙著シリーズ 数学II 複素数と方程式 p. 参照)

あるいはf(x)で割った余りが0になることを利用してもOK。余りの式は、aが満たす2次方程式を作って次数下げですね。

 Principle Piece 

 高次式の値を求める→次数下げか割り算で

(詳細は拙著シリーズ 数学I 数と式 p.44 参照)

(2)は、問題文のヒントからも、x^5-1を考えることは明らかでしょう。x^5-1=0の解のうち、実部も虚部も正であるものは1つしかないので、それがお目当てのαになります。

(3)は、ωの要領で考えます。5乗で1ですから、2023乗=3乗です。結局、α^3+1/α^3になります。f(x)の2解はαとαバーで、これが1/αとなるので、あとは解と係数の関係でOKですね。

 Principle Piece 

 解の対称式の値→ 解と係数の関係の利用

(詳細は拙著シリーズ 数学II 複素数と方程式 p.12 参照)

※なお、α^3=1/α^2、1/α^3=α^2とすると2次の対称式になりますので、もっと簡単になります。(そこまで手間ではありませんが)

※KATSUYAの解答時間14:29です。(1)の説明に地味に手間取りました。

 

第5問【空間ベクトル】平面に下した垂線の足(B、20分、Lv.1)

空間ベクトルからで、四面体の頂点から平面に下した垂線の足を2回求めるだけの作業問題です。空間なので計算量は増えますが、これはしっかりおさえたいところ。

(1)は、内積を求めるだけです。空間ベクトルで内積絡みの問題では、基本ベクトル3つの長さ+内積3種、計6種の数値を準備しておけば何でも出せると思っておきましょう。

問題文も条件は6つあります(式で5つ、もう1つはOCとABが垂直)ので、全部分かるはずです。

(2)は6種出せたら、平面に下した垂線の解き方の原則に従うだけ。平面上にあることを2文字で表し、2つのベクトルとの内積ゼロを連立するだけですね。OAB上にあるときはOがあるのでラク。

(3)は同じことをもう一度やるだけ。証明すべきことを考えると、OK→とOH→はa,bの係数が等しいはずなので、計算ミスにも気づけるでしょう。


※KATSUYAの解答時間は13:57です。(3)は図形的解釈でなんとかなったりしないのかと考えるも、その時間でもう一度計算した方が早いと判断。

 

☆第6問【微積分総合】線分の通過領域の面積(C、60分、Lv.3)

最後は微積分総合問題です。微積分がめんどくさいというより、図形の概形を正確に把握するのがタイヘンな問題。最後の面積計算までたどり着くのは至難の業でしょう。第5問までで時間的には余裕があるはずなので、概形までは頑張って書けるかも。そこまでで出来れば御の字。

(1)は計算するだけです。

(2)は通過領域ですが、図形と方程式でやるような通過領域の問題ではなく、PQベクトルが(1,1)で固定なので、グラフにそって固定された斜めの線をスライドさせるだけです。傾き1の接線を(1)で出しているのは、このPQベクトルと平行なときを把握するためです。

これをもとにして概形を比較的正確に把握できますが、メモリの繁雑な部分が多いのと、グラフの変わり目の点も多いため、概形を書くのにまず一苦労です。また、面積を求めるとなると、まともに当たると相当しんどい。

算数などでよくやる手法ですが、図形を移動したときに通る部分の面積は、凹凸部分をうまくはめ込んで、きれいな形を作ります。(さすがに高校数学の原則として扱うことがないので、なじみがない人の方が多いのでは)

回転移動のときは、うまくはめこめばおうぎ形・半円・ドーナツの一部などになります。平行移動のときは平行四辺形に出来ることがほとんどです。今回も完全に平行四辺形にはできませんが、うまくはめ込むと一部は平行四辺形となり、計算が一気にラクになります。

S台さんの解答を見ると分かりやすいと思います。なお、文系はもっと関数を簡単にした同じような問題がありますので、練習したい人はこちらからやってみるといいでしょう。

 

※KATSUYAの解答時間は45:19です。概形がうざすぎる^^;2つの曲線の交点(x=7/6)がきれいになるように元の関数の係数を調整したんやろうけど、それでも概形がかなり複雑。これは捨て問かな。

 

4.対策

たまに非常に難しいセットになることが多いですが。例年は標準レベルの問題が出題されます。2020年はちょっと易しい気がしますので、このレベルの対策はちょっとあぶないです。

ひとひねり加えられたり、融合的なものが多いですが、やることは典型的なものが多いです。

頻出分野は微積分、確率、整数問題(今年は出ず)、図形です。さらに複素数平面が3年連像出題。計算量が多いものも出ますので、素早く確実に解けるようにしましょう。

パターン問題を習得したあと、入試問題の表現に数多く触れることが大事ですね。最終段階は入試標準レベルでも大丈夫ですが、不安な場合は仕上げ段階まで行いましょう。

なお、拙著『Principle Piece』シリーズであれば「原則習得」「入試基礎演習」の両方の段階を兼ねていますので、この後にもう入試標準演習の問題集に接続可能です^^

 

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

東北大は単科長年タイプのものもありますので、過去問対策はこちらでもいいでしょう。

■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版!)

数学I Chapter1~数と式~ (第4問)

数学A Chapter2~確率~ (第1問)

数学II Chapter2~複素数と方程式~ (第4問)

数学II Chapter4~三角関数~ (第2問)

数学B・C Chaptet1~数列~ (第3問)

数学B・C Chaptet3B~空間ベクトル~ (第5問)

数学B・C Chaptet4~複素数平面~ (第4問)

数学III Chapter4~微分法2~ (第6問)

数学III Chapter6~積分法(グラフ編)~ (第6問)

すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ!!

数学I・A ~原則のみ~

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