名古屋大学理系数学講評| 2024年大学入試数学

2024/03/02

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●２０２４年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２４年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２４年大学入試（国公立）シリーズ。
名古屋大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

★お知らせ★

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾　原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

Twitter始めました　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

名古屋大学（理系）
（試験時間150分、４問、記述式）

１．全体総評～重めの問題が少し減る～

昨年比ではやや易化です。4番の重さは相変わらずですが(今年の方が重い？)、残りの問題が比較的オーソドックスで、そこまで方針に迷うような問題ではなかったです。また昨年の2番のような計算量が莫大なものもなく、時間内に正答できそうなセットでした。

分野的には数III(複素数平面含む)から3題、とベクトル、確率が絡みます。やはり難関大頻出のABⅢ構成ですね。また、全体的に融合問題が多いです。

試験時間150分に対し、標準回答時間は125分。結構短いですね。

2023年：150分

2022年：130分

2021年：120分

2020年：135分

2019年：145分

2018年：125分

2017年：160分

2016年：200分(4番を捨てれば80分で済むが)

2015年：145分

2014年：140分

2013年：135分

2012年：150分

2011年：125分

2010年：135分

２．合格ライン

第１問はこのセットであればおさえたい。

第２問はキー問題かも。同年九大にも似たような問題があったが、この手の問題での議論は差がつく。でも取りたい。

第３問はベクトル。(2)までは確実に欲しい。(3)(4)は図形的な考察も必要でキー問題。2023年東大理系4番と類似。

第４問は(1)は欲しい。(2)(3)はキツイ。サイアク(2)を認めて(3)に行ってもいいが、意外と考察しないと厳しいかも。(2)は捨てて(3)がキー問題かも。

第１問で１完、第２問と第３問で１完半欲しい。さらに第4問の(1)は確保。(2)を認めて(3)が取れればまあ安心。

65％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問【微分法＋(2次関数+)整数】極値、接線の本数、接点の座標が整数になる条件（B,25分、Lv.2）

比較的簡単なグラフを題材に、極値、接線の条件などを聞いてきます。解法次第では2次関数も絡み、さらに整数も絡む融合問題です。適度な難易度で良問だと思いますが、今年の名大理系のセットなら完答したい。

（１）は微分するだけです。

（２）は接線の本数ですから、こちらの原則です。接点をおきます。

Principle Piece

接線の本数は接点をおいて解の個数へ帰着

（詳細は拙著シリーズ数学Ⅱ 微分法 p.47 ）

整理して分母を払えば2次方程式になります。これが異なる2つの正の解を持てばいいと考えれば2次関数の解の存在範囲になります。

2次関数でもいいし、複素数の単元の原則でもOK。

Principle Piece

解の存在範囲：2解とも範囲指定→D,軸、端点を調べる

（詳細は拙著シリーズ数学I ２次関数 p.72 参照）

※去年の使いまわし。去年も名大理系1番で使ってた＾＾；

Principle Piece

解の存在範囲(解と係数の関係利用)：→D,解の和、解の積の符号

（詳細は拙著シリーズ数学II 複素数と方程式 p.19 参照）

なお、理系なのでｔ＝・・・で完全に定数分離することも出来ます。その場合は再び微分して増減表ですが、(3)の聞き方からしても2次方程式に帰着させることを想定していると思います。

(3)は(2)で作った方程式の解がともに正である場合です。こちらもよく見かけるパターンですね。

Principle Piece

2次方程式が整数解→解と係数の関係で定数消去して整数解問題へ

（詳細は拙著シリーズ数学II 複素数と方程式 p.42 参照）

定数ｔを消去すると、例のムリヤリ因数分解するパターンになります。

Principle Piece

整数解その１：ムリヤリ (x-●)(y-▲)=■ を作れ

（詳細は拙著シリーズ数学A 整数 p.45 参照）

あとは解が正であることや大小関係などから絞れば、2通りだけであると分かります。

※KATSUYAの解答時間は9:12です。数Ⅲの微分から始まり、ここまでいろいろ聞いてくるのは、うまく融合してますね。どの分野の原則もちゃんと頭に入っていれば手が止まることはないタイプの良問。

第２問【複素数平面】2つの3次方程式の共通解（B、25分、Lv.２）

複素数係数の2つの3次方程式の解について吟味し、共通解を持つような条件を求める問題。(2)の解と(1)の解の複素数平面上での位置関係が(3)へのポイント。

(1)は解くだけ。定数ｃが入っているのに、サクッと解を聞いてくるときは、だいたい((１次)×(2次)＝０に出来ます。因数分解の基本、次数の低いｃについて整理してみましょう。簡単にｚ－２で割れると分かります。

Principle Piece

多項式の因数分解は1文字整理→次数の低い文字で！

（詳細は拙著シリーズ数学I 数と式 p.23 参照）

(2)はｚの係数見て気づいてほしいですが、P(z）でz → αzとすればQ(z)に一致します。α^4=－１になることがポイントですね。

従ってαｚが(1)の解なので、αで割った解がQ(z)=0の解。実部を見ればどれが一番大きいかもすぐ分かると思います。

(3)はちょろっとですが図形的考察が必要。どれかの解zについて、z/αもP(z)の解になるということ、αの絶対値が1であることから、絶対値が一致している2つであることが確定します。これに気づけば、簡単に偏角が45の半分、22.5°であることが分かります。実部は１なので、あとはtan22.5°を半角の公式で求めれば虚部も出て、同時にｃも出ますね。

※KATSUYAの解答時間14:52。(3)は九大にもちょっと似たようなのあった気が。移るとしたらどの解がどの解になるのかの議論で差は出そう。

☆第３問【空間ベクトル】垂線の足、距離の最小値（B、30分、Lv.2）

ベクトルからで、原点Oと、とある平面上の一部の領域内の点の距離の最小値に関する問題。東大も2023年に類似問題出してますね。

（１）は計算するだけ。これでやってね、っていうメッセージですかね。

（２）は(1)が微妙に使いにくく、普通にOA,OB,OC基準がいいでしょう。垂線の足に関する原則に従うだけですね。

Principle Piece

平面に下した垂線の足

[1] 平面上の点を2文字で置く [2] 平面をなす2ベクトルと内積ゼロで連立

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 空間ベクトル p.39 参照）

(3)は数式で押してもいいですが、図形的に考えると結構当たり前に近いです。AB,ACの長さや内積が分かるので、ABCを平面上に書き、Qの位置を加えると、Pは半直線AB,ACではさまれる部分にあるので、当然交わりますよね。不安なら、点RがAC上かつAQ上にあるとして、係数比較しましょう。ｓ、ｔが非負であることが利いてきます。

(4)は(3)で図形的考察をしていれば、(2)を利用します。結局、Qからの距離が最小になるところ探せばOKということです。先に垂線を下ろすのは、空間における距離の最小問題の原則ですね。

Principle Piece

空間内にある点との距離 →先に平面に垂線を下ろす

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 空間ベクトル p.65 参照　拙著では円周上の点ですが、同じです）

※KATSUYAの解答時間は20:17です。(3)は一応図で説明したので、少し時間かかった。

☆第４問【確率＋積分法(数式編)】反復試行と確率、定積分(ベータ関数)（C、45分、Lv.３）

最後は名大名物、論証系の問題です。今回も題材は有名な題材で(知っている必要は全くない、というか知っていても答案は変わらない)、ベルヌーイ分布(←反復試行のような場合の確率のこと)とβ分布の関係式に関する問題です。

(1)は余事象で計算するだけです。

(2)が今回の最難問です。自然数絡みですので、帰納法で示せることには気づきたい。そして、右辺がいわゆるベータ関数の類似であることに気づくと(ｐ→１に変えるとベータ関数)、これを部分積分すればヒントが得られるのではないかと思えるはずです。

帰納法なので1ずらす→部分積分という発想ですね。

Principle Piece

定積分の漸化式は部分積分で攻める

（詳細は拙著シリーズ数学III 積分法(数式編) p.90 参照　ベータ関数ももちろん頻出）

あとは、f(k+1)＝f(k)－(丁度ｋ回出る確率)であることに気を付ければ、ｋからｋ＋１の場合が示せます。部分積分の項が、うまく丁度ｋ回出る確率に対応します。

(3)は最悪(2)を使って答えてしまう、という手もあります。

まずじっと見比べて、ｐ→1/2、ｋ→ｋ＋１、ｎ→２ｋ＋１とすれば、積分のところはキレイに当てはまります。

次に(2)でのf(k+1)の意味を考えると、ちょうど半分の1/2にあります。(表と裏の回数を考えれば明らか)になります。これらを合わせると、簡単にIの値が出せるということです。

あるいはベータ関数の問題をマスターして知っていれば、被積分関数がx=1/2に関して対称であることから、0~1までの積分の半分となります。それを利用し、ベータ関数を実際に自分で求めるという方法です。

超有名題材であるベータ関数ぐらいは、イチから自分で出せるぐらいになっておくと多少有利であることが、本問を見ても分かりますね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は27:26です。思いつくのはそこまで難しくはなかったけど、去年より計算はだいぶ重いかな。

４．対策

頻出分野は微積、確率(漸化式と絡むことが多い)、整数の論証系です。(III、A、Bといった印象)

どれも計算量もあり、かつ発想もある程度必要なものが多いです。出題分野も似ている東大レベルで練習を積んでおいてもいいぐらいでしょう。

BレベルとCレベルが５分５分ぐらいで出題されます。Bレベルを落とさないことを最優先に、さらに上のせしていきましょう。Cレベル以上を意識しすぎると、逆効果。Cレベルは、３割とれればいい、ぐらいの気持ちでいるほうがいいでしょう。それよりも、D以上を嗅ぎ分ける能力が本学では必要です。2019年の第４問のようなものを、避けられることも重要。過去問で嗅ぎ分けの練習をしましょう。

最終段階では、仕上げ段階まで行っておきたいですが、ここまで行ったとしても点数につながらない問題も出るかもしれません。本学の場合、他の科目を犠牲にしてまで数学に時間を取られることのないようにしましょう。合計で合格すればいいのです。

単科長年タイプの過去問もありますので、ある程度のレベルに達したと感じたら、これに絞って研究するのもいいかもしれません。

※名大理系数学は大竹先生が書いておられます。私も高校生のときにご指導いただいた先生で、個人的には非常にオススメです。